Разработка сетевого курса" Квадратное уравнение"

Разделы: Математика

Урок разработан по учебнику Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Алгебра-8. Курс разработан учителем математики первой квалификационной категории лицея-интерната г. Буинска РТ Зайнуллиной Гузаль Зуфаровной для дистанционного обучения детей, которые по состоянию здоровья не могут обучаться в общих или специальных учреждениях.

Цель:

  • Выработать умения решать неполные и полные квадратные уравнения
  • Развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала.

СОДЕРЖАНИЕ

РАЗДЕЛ 1 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Тема 1.1 Квадратные уравнения и его корни

  1. Урок 1 Определение квадратного уравнения.
  2. Урок 2 Неполные квадратные уравнения.
  3. Урок 3 Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена
  4. Итоговая контрольная точка: контрольные вопросы

Тема 1.2 Формула корней квадратного уравнения

  1. Урок 1 Решение квадратных уравнений по формуле
  2. Урок 2 Решение задач с помощью квадратных уравнений
  3. Урок 3 Теорема Виета
  4. Итоговая контрольная точка: Письменная контрольная работа

Урок 1. Определение квадратного уравнения

Цель урока: Уметь выделять квадратные уравнения из других уравнений.

Ход урока

- Решить задачу способом составления системы уравнений: периметр прямоугольного участка 100 м, площадь 600 м2. Найдите стороны участка.

- Ожидаемый ответ: система уравнений

- Сравни полученное уравнение с линейным: чем они отличаются?

- При попытке решения системы получается уравнение х2 – 50х + 600 = 0.

- Будем изучать новый вид уравнений, который содержит член со второй степенью неизвестного. Эти уравнения называются квадратными. Найди в учебнике определение квадратного уравнения.

- Из данных уравнений выдели уравнения, которые содержат вторую степень неизвестного: 2х = 7 – х,

  • -3х = х2 + 2,
  • (3х – 5) : 2 = 0,
  • (х -3) (х + 5) = 0, 7,5,
  • 3х2 = 4,5,
  • 9х2 = 16.

- Выделенные в предыдущем задании уравнения преобразуй так, чтобы в левой части был многочлен в стандартном виде, а в правой части 0.

- Сравни свои гипотезы с определением квадратного (второй степени) уравнения по учебному пособию (страница 105).

- Используя данную таблицу коэффициентов, составь квадратные уравнения.

а b с
3 -17 14
0 4
3 0
1 - 3 2

- Выпиши коэффициенты квадратных уравнений:

  • х2 + 3х – 4 = 0
  • х2 – х = 0
  • х2 – 1 = 0
  • 5 – х2 – 4х = 0

- Распознай по учебнику (страница 107) квадратные уравнения из № 504.

- Найди квадратные уравнения и его коэффициенты № 505.

- Составь 3 – 4 квадратных уравнения.

Из истории развития учения об уравнениях.

Урок 2. Неполные квадратные уравнения.

Цель: Выделить классифицирующий признак и способы распознания видов квадратных уравнений.

Проверка домашнего задания.

Составь квадратные уравнения в общем виде, учитывая требования к коэффициентам а b с.

  а b с
I вид a 0, a 1 b 0 c 0
II вид a 0 b = 0

b 0

b = 0

 c 0

c= 0

c= 0
III вид a = 1 b 0 c 0

Проверь себя:

I. ах2 + вх + с = 0,

где а 0, в 0, с 0, а 1

II.ах2 + с = 0, а 0, с 0; ах2 + вх = 0, а 0, в 0; ах2 = 0, а 0

III. х2 + pх + q =0, где p 0, q 0

Уравнения, имеющие I вид называются полными квадратными уравнениями.

Уравнения, имеющие II вид называются неполными квадратными уравнениями.

Уравнения, имеющие III вид называются приведенными квадратными уравнениями.

Прочитай материал учебника на страницах 105,106

Задание: Напиши:

1) полное квадратное уравнение с первым коэффициентом 4, свободным членом 6, вторым коэффициентом (-7);

2) неполное квадратное уравнение с первым коэффициентом 4, свободным членом (-16);

3) приведенное квадратное уравнение со свободным членом , вторым коэффициентом (-3).

Ожидаемый ответ:

  • 4х2 – 7х + 6 = 0
  • 4х2 – 16 = 0
  • х2 – 3х + = 0

Задание: Классифицируй квадратные уравнения:

  • х2 + х + 1 = 0;
  • х2 – 2х = 0;
  • 7х2 + 5 – 13х = 0;
  • х2 – 5х + 6 = 0; х2 – 9 = 0;
  • х2 – 9х = 0;
  • х2 + 2х = 4х2 + 3х – 4.

Задание: Преобразуй уравнения в приведенные:

  • 2х2 + 2х – 4 =0
  • 18х2 – 12х + 6 = 0
  • 4х2 – 16х + 5 = 0
  • 4х2 – 12х = 0

Подсказка: разделить все члены уравнения на старший коэффициент.

Задание: Преобразуй уравнения так, чтобы все коэффициенты были целыми числами:

  • х2 = 25,
  • х2 – 2х + 6 = 0,
  • (9 – х2) : 7 = 0.

Подсказка: умножить обе части уравнения на одно и то же число.

Задание: Смоделируй квалификацию квадратных уравнений в зависимости от коэффициентов (дополнить схему).

Задание: Что изучили? Как? Самооценка всей деятельности на уроке.

Задание:

1) распознать по учебнику виды квадратных уравнений № 505;

2) составить квадратные уравнения всех видов;

3) Заполни таблицу:

1. 3х2 – х = 0   2. х2 – 2х + 3 = 0
3. х2 – 25 = 0   4. 7х2 – 5х + 6 = 0
5. 2х2 + х – 3 = 0   6. х2 – 2х – 2 = 0
7. 5х2 = 0 8.   9х2 – 12х + 4 = 0
9. х2 + 4х + 1 = 0   10. – 3х2 – 2х + 5 = 0
Квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, а 0
Приведенное, если а = 1 Неприведенное , если а1
Полное b 0, с 0 Неполное b=0 или с=0 Полное b0, с0 Неполное b=0 или с=0

 Заключение: значит , неполные квадратные уравнения бывают трех видов: ах2 + с = 0, а 0, с 0; ах2 + вх = 0, а 0, в 0; ах2 = 0, а 0

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих уравнений

(учебник, страница 106, рассмотреть Пример1, пример 2, пример 3.)

Закрепление № 509, 510, 514.

Урок 3. Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

Цель: Решать квадратные уравнения, выделяя квадрат двучлена.

- Рассмотрим примеры решения полных квадратных уравнений, т.е. таких уравнений, у которых все три коэффициента отличны от нуля. Начнем с приведенных квадратных уравнений.

Решим приведенное квадратное уравнение х2 +10х +25 = 0.

Представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена.

Получим: (х + 5)2 = 0. Отсюда х + 5 =0, х = -5. Ответ: -5.

Решим ещё одно приведенное квадратное уравнение х2 – 6х – 7 =0.

Если данный квадратный трехчлен расписать по формуле сокращенного умножения. то 6*х это есть 2*3*х, где 2 - означает удвоенное произведение, х- первый член, значит 3 – второй член двучлена. Итак, получим, х2 - 2*3*х + 9, так как в нашем квадратном трехчлене нет 9, то 9 придется отнять, т.е. получим,

х2 - 2*3*х + 9 – 9 -7=0, (х- 3)2 – 16 = 0, (х- 3)2 = 16. Отсюда, х – 3 = -4 или х – 3 = 4.

Ответ: х1 = -1, х2 = 7.

Способ, с помощью которого мы решили уравнение называют выделением квадрата двучлена. Решение еще нескольких уравнений рассмотри на странице 110.

Применяя полученные знания решай № 525, 527

Итоговая контрольная точка: контрольные вопросы

  1. Сформулируй определение квадратного уравнения.
  2. Какое уравнение называется неполным квадратным уравнением? Приведи примеры неполных квадратных уравнений различных видов.
  3. Сколько корней имеет неполное квадратное уравнение каждого вида?
  4. Какое уравнение называют приведённым квадратным уравнением?
  5. Покажи на примере способ решения приведенного квадратного уравнения выделением квадрата двучлена.

Тема 1.2 Формула корней квадратного уравнения

Урок 1. Решение квадратных уравнений по формуле

Цель: вывод и обоснование формулы корней квадратных уравнений и отработка умений применения формулы при решении простейших квадратных уравнений.

- Полное квадратное уравнение имеет вид

ах2 + bx + c = 0, а 0, в и с – любые числа.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Поэтому, имеет смысл сделать ее один раз в общем виде, получив тем самым универсальные формулы для решения произвольных квадратных уравнений.

Рассмотрим в общем виде квадратное уравнение аx2 + bx + c = 0, где а ? 0, и решим его выделением квадрата двучлена:

U U .

Обозначим: D = b2 – 4ac – дискриминант квадратного уравнения (“различитель” – фр.). Что же он “различает”? [количество корней уравнения] А именно:

1) Если D < 0, то корней нет.

2) Если D = 0, то U – один корень.

Если D > 0, то U U – два корня.

Это и есть формула корней квадратного уравнения. Можно ли ее применять для случая D = 0? [Да, проверим это] Именно поэтому принято считать, что если квадратное уравнение имеет одно решение, то это – два совпадающих корня! (мы с этим уже сталкивались).

При решении квадратного уравнения по формуле целесообразно поступать следующим образом:

Вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;

Если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Например, решить уравнение

1) 7х2 – 5х + 6 = 0

а = 7, b= -5, с=6

D = b2 – 4ac

D=(-5)2 – 4*7*6 = 25 - 4*6*7= 25 – 168 = - 143 <0

Ответ : корней нет.

2) 2х2 + х – 3 = 0.

а=2, b = 1 , с=-3

D = b2 – 4ac

D = (1)2 – 4*2*(-3) = 1+24 = 25 >0

                

    

Ответ: -1,5;1.

Закрепление. № 534, 535, 536,544, 547.

Повторение теоретического материала по презентации.

Тест на усвоение новых понятий:

Вычеркнуть из таблицы разными цветами буквы каждого слова.

Это задание чтобы понять смысл данного понятия, проговаривается при зачеркивании букв каждое слово и запоминается его произношение, концентрируется внимание на смысле данного понятия.

Урок 2. Решение задач с помощью квадратных уравнений

Цель: Составляя квадратные уравнения решать текстовые задачи.

Ход урока

Новый материал. Приступим к текстовым задачам, сводящимся к квадратным уравнениям. В курсе геометрии мы уже встречались с подобными задачами. Сегодня – задачи с “числовым” содержанием. Рассмотрим примеры.

Стр. 120, №557 – прочитай задачу. 1) Составь уравнение [x(x + 2) = 120]; 2) Упрости его и найдите корни [10 и 12] 3) Какой ответ в задаче?

[120 = 10 * 12 или 120 = –12 * (–10)] Как изменится ответ, если добавить условие, что числа – положительные?

Выделим основные этапы решения текстовой задачи:

1) Выбрать переменную или переменные;

2) Выразить через них остальные величины;

3) Составить уравнение или систему уравнений;

4) Решить составленное уравнение или систему;

5) Выяснить, какие из решений уравнения или системы являются решением задачи;

6) Записать ответ задачи.

Письменно:

1) стр. 120, №568 – [(n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 = 869]

2) стр. 136, №650 (в тетрадях с полной записью) [–2; 0; 2 или 6; 8; 10]

Составь геометрическую задачу с теми же данными. Как изменится ответ в этом случае?

3) Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число. записываемое теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите данное число (самостоятельно в тетрадь; краткая запись) [система уравнений; 32]

4) стр. 137,  №656 (самостоятельно в тетрадь; краткая запись) [ = 45; 10]

Сравни решенную задачу с задачами: стр. 218, №1122 и Зад.: №5.119.

Домашнее задание: Т.: №567; 652; 655; 1108 (любые две – с полной записью, другие две – с краткой);

Проверка знаний – тестирование.

Урок 3. Теорема Виета

Цель: Ввести теорему Виета и применять эту теорему при решении квадратных уравнений.

Ход урока

Сегодня мы продолжаем изучать квадратные уравнения и их корни. Пусть слова Козьмы Пруткова "Зри в корень" будут эпиграфом урока.

Франсуа Виет - французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее - советником французских королей Генриха III и Генриха II. Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом. Ф. Виета называют "отцом буквенной современной алгебры”. Он доказал теорему, которую мы будем сегодня изучать.

Объяснение нового материала

Обратите внимание на уравнения х2 + 4х - 5 = 0 и х2 - 8х - 9 = 0.

Чем они отличаются от остальных уравнений?

(Старший коэффициент в каждом из этих уравнений равен 1). Такие уравнения имеют свое название. Какое? (стр. 109).

Вопрос. Какие уравнения называются приведенными? (Уравнения вида х2+ px+q=0).

Вопрос. Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?

ах2 + bх+с=0.

х2 +b /а *х +с/а = 0.

Задание. Найдите сумму и произведение корней уравнения № 573 (а-г).

Вопрос. Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

х1+х2 = -р,

х1*х2 =q.

Но это нужно доказать. Может быть, не для всех приведенных уравнений эти равенства справедливы.

Кстати, подобный случай описан в фантастическом рассказе А. Бестера "Пи-человек": х2 + х + 41 равно простому числу при х = 0,1,2... Но уже при х = n получается составное число. Рекомендую прочитать рассказ и узнать, чему равно n.

Доказательство теоремы Виета. Учебник - стр.122.

Формулирование теоремы.

Вопрос. Можно ли применить теорему Виета для неприведенного квадратного уравнения?

Задание № 573 (д-з)

Вопрос. Справедлива ли т. Виета для приведенных уравнений, у которых p2-4q <0?

Стихотворение

(К. Вейерштрасс сказал, что нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе).

Теорема Виета. Нет формул важней

Для приведенного уравнения:
р - это сумма его корней,
q - его корней произведение.

Применение теоремы Виета
В.В. Маяковский: "Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно".

Зачем же нужна теорема Виета?

С ее помощью можно:

  • найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его (устно № 577)
  • зная один из корней, найти другой (№ 578-581);
  • определить знаки корней уравнения (584, 586);
  • подобрать корни уравнения, не решая его (№585).
  • проверка правильности решения квадратного уравнения (№ 643);
  • составление квадратных уравнений по их корням.

Задание. Подсчитайте сумму всех трех коэффициентов уравнения №450(1): 1 + 4-5= 0,

и один из корней равен 1.

Правило 1. Если а + b + с = 0, то один из корней уравнения равен 1. Второй легко подсчитать с помощью теоремы Виета.

Мини-викторина

Назовите год 850-летия Москвы (1997).

Назовите год 200-летия Пушкина (1999).

3. Назовите максимально возможное количество корней квадратного уравнения (2)

1997х2 + 2х- 1999 = 0.

1997 + 2 - 1999 = 0.

Значит, один из корней уравнения равен 1, другой равен- 1999/1997.

Правило 2. Если а - b + с = 0, то один из корней квадратного уравнения равен - 1.

Тест

Задание. Выпиши цифры, стоящие возле правильных ответов. (В результате должны получиться годы жизни Франсуа Виета: ).

1 вариант

1. Выберите среди квадратных уравнений приведенное.

  1. Зх2 - 7х + 6 = 0 (5),
  2. х2 - Зх - 2 = 0 (1),
  3. -х2 - 2х + 1 = 0 (4).

2. Для уравнения 7х2 + 14х - 21 =0 приведенным является

  1. х2 + 2х - 3 = 0 (5),
  2. -х2 -2х + 3 = 0 (6),
  3. 7х + 14x-21 = 0 (7).

3. Сумма корней уравнения х2 - 5х - 6 = 0 равна

  1. -6 (2),
  2. -5 (3),
  3. 5 (4).

4. Произведение корней уравнения х2 + х - 2 - 0 равно

  1. -1 (2),
  2. 2 (1),
  3. -2 (0).

5. Какое из уравнений имеет корни противоположных знаков?

  1. х2 - 0,4х -1=0 (-),
  2. х2 + 4х + 0,2= 0 (+),
  3. х2 - Зх + 48 = 0 (*)?

Итог урока

Стихотворение

Теорему Виета тебе
Я запомнить легко помогу:
Сумма корней минус р,
Произведение q.

Вывод

При решении уравнений можно использовать следующие мнемонические правила:

Квадрат двучлен, без сомнения, равен сумме квадратов его одночленов и их удвоенного произведения

Разность квадратов, помни всегда, произведению суммы на разность равна.

Итоговая контрольная точка: Письменная контрольная работа

1. Выбери среди квадратных уравнений приведенное.

  1. Зх2 - 7х + 6 = 0 ,
  2. х2 - Зх - 2 = 0 ,
  3. -х2 - 2х + 1 = 0.

2. Сумма корней уравнения х2 + 8х -7 - 0 равна

  1. -7,
  2. -8,
  3. 8.

3. Произведение корней уравнения х2 -2 х - 3 = 0 равно

  1. -3,
  2. 4,
  3. -2.

Решить уравнение:

а) 5х2 + 8х -4 =0;

б) 25х2 – 4 = 0;

в) 6х2 = 18х;

г) (х + 3)2 -2(х + 3) – 8 = 0.

5. Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 132.