ИКТ на уроках геометрии "Теорема Пифагора"

Разделы: Математика

Цели урока:

Обучающая:

  • изучить теорему Пифагора, способствовать формированию навыков решения задач, предусмотренных стандартом образования.

Развивающая:

  • продолжить развитие математической речи учащихся, навыков работы с дополнительной и справочной литературой;
  • осуществить межпредметную связь геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой.

Воспитательная:

  • познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора;
  • формировать аккуратность, внимательность, навыки самоподготовки, взаимоконтроля, творческие способности.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Формы работы учащихся на уроке:

  • фронтальная,
  • индивидуальная,
  • в парах.

Оборудование: портрет Пифагора, чертежные инструменты, справочные таблицы, мультимедиапроектор, презентация, выставка рефератов учащихся.

План урока:

  • Организационный момент.
  • Подготовительный этап:
    1) фронтальный опрос;
    2) постановка задачи;
    3) практическая работа.
  • Изучение теоремы.
  • Закрепление:
    1) историческая справка;
    2) решение задач.
  • Самостоятельная работа.
  • Подведение итогов.
  • Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

Учитель. Тема нашего урока “Теорема Пифагора”. (Приложение, слайд 1)

На дом вы получили задание подготовить сообщение о Пифагоре. Вы видите выставку рефератов на эту тему. К следующему уроку я их проверю и лучшие мы с вами заслушаем. А сегодня на уроке мы познакомимся с теоремой Пифагора, доказательством этой теоремы и научимся решать простейшие задачи с использованием этой теоремы.

Хочу начать урок со слов об этой известной теореме: “Геометрия обладает двумя великими сокровищами. Первое-это теорема Пифагора..." (слайд 2)

Но у нас необычный урок. Попробуем совершить путешествие на остров Самос, расположенный в Эгейском море. Мы узнаем, чем интересен этот остров, и какие “математические события” там происходили. Путешествовать будем на самолете, ведь время у нас ограничено – 40минут. Итак, мы в самолете. (Слайд 3)

Проверим вашу готовность.

2. Подготовительный этап.

1) Фронтальный опрос

Учитель.

– Как называется фигура, изображенная на рисунке? (Треугольник) Какой? (Прямоугольный) (слайд 4)

– Как называются стороны прямоугольного треугольника? (с – гипотенуза, а, b – катеты) (слайд 5)

– Как найти площадь прямоугольного треугольника? (S = ab) (слайд 6)

– Катеты прямоугольного треугольника равны 16см и 10см. Чему равна площадь? (160 см2) (слайд 7)

– Какая фигура изображена на рисунке? (Квадрат) (слайд 8)

– Как найти площадь квадрата со стороной а? (S = а2) (слайд 9)

– Сторона квадрата 8см. Найдите его площадь. (64см2) (слайд 10)

– Чему равна площадь многоугольника, если многоугольник составлен из нескольких многоугольников? (Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников) (слайд 11)

2) Постановка задачи

Учитель. Теперь в путь! (Слайд 12)

Но для того, что бы вовремя долететь, нам нужно решить следующую задачу: “Наш самолет находится на высоте 9 км. На земле мы преодолели расстояние 12км. Какой путь пролетел самолет в воздухе?” (слайд 13).

Схематически это выглядит так. Нам известны катеты прямоугольного треугольника, а найти нужно гипотенузу. Но мы пока это делать не можем. А поможет нам практическая работа.

3) Практическая работа (слайд 14).

Учитель. Начертим прямой угол, отложим на его сторонах катеты 3 см и 4 см. Получим гипотенузу. Давайте измерим ее линейкой. Сколько получилось? Правильно, 5см. То есть стороны нашего треугольника 3, 4 и 5 см. Достроим на катетах и гипотенузе квадраты. Найдем их площади. Смотрите, если сложить два первых результата, то получится третий. Оказывается, стороны такого треугольника обладают каким-то особым свойством.

Вывод: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. (Слайд 15)

Прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 имел когда-то большое практическое применение. В частности с его помощью строили прямые углы. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называли египетским. (Слайд 16)

Греки не только заметили это свойство, но и сделали интереснейшее открытие. Две с половиной тысячи лет тому назад греческий математик Пифагор доказал, что в любом прямоугольном треугольнике стороны обладают тем же свойством, что и в египетском. Это знаменитая теорема Пифагора, которая теперь есть в каждом учебнике геометрии. Теорема Пифагора – это уже не правило, а закон, потому что она верна не для одного или нескольких, а для всех прямоугольных треугольников.

3. Изучение теоремы.

Учитель. “В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. (Слайд 17)

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с. Докажем, что с2 = а2 + в2

Доказательство. (Слайд 18)

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b. (Слайд 19)

Площадь S этого квадрата равна (а + b)2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна аb, и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 · аb + с2 = 2ab + с2. Таким образом, (а + b)2 = 2ab + с2,

откуда с2 = а2 + b2.

Итак, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Шутливая формулировка теоремы.(Слайд 20)

Ученик.

Если нам дан треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату придем.

Учитель. Вернемся к поставленной в начале урока задаче. Теперь мы уже можем ее решить. Применим теорему Пифагора для вычисления пути самолета. (Слайд 21)

с2 = а2 + b2.

с2 = 92 + 122

с2 = 81 + 144

с2 = 225

с = 225

с = 15

Значит, самолет пролетел путь, равный 15 км.

Учитель. Ребята, о теореме Пифагора сказано большое множество красивых слов. Например, (слайд 22)

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…

4. Закрепление.

1) Историческая справка

Учитель. Мы с вами прибыли на остров Самос, и нас встречает экскурсовод. Давайте немного отдохнем и послушаем, что расскажет нам о Пифагоре жительница острова Самос. (Учитель и учащиеся отдыхают и просматривают презентацию, которую сопровождает запись краткого рассказа о жизни Пифагора.)

Экскурсовод. (Слайд 23)

Здравствуйте, ребята! На нашем острове в 6 веке до нашей эры жил величайший математик Пифагор. (Слайд 24)

Известно, что родился он на острове Самос, расположенном в Эгейском море. (Слайд 25)

По совету Фалеса 22 года Пифагор набирался мудрости в Египте. (Слайд 26, 27)

В Вавилон он попал не по своей воле. (Слайд 28)

Во время завоевательных походов на Египет войска полководца Камбиза взяли Пифагора в плен и продали в рабство. (Слайд 29)

Он более 10 лет жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. (Слайд 30)

Вернувшись на родину, Пифагор организовал пифагорейский орден и школу философов и математиков. Излюбленной геометрической фигурой пифагорейцев была пентаграмма или пифагорейская звезда. При встрече они рисовали ее на песке, тем самым приветствуя друг друга. Пентаграмма служила им паролем и была символом здоровья и счастья. (Слайд 31)

Художник Бронников написал картину “Гимн Пифагорийцев восходящему солнцу”

В пятисотых годах до нашей эры Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После смерти его ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

2) Решение задач.

Экскурсовод. (Слайд 32)

По традиции этого острова всякий прибывающий на него сдает экзамен на право быть пифагорейцем.

Решение задач по готовым чертежам (слайд 33)

Задача 1. (Устно)

По теореме Пифагора:
АВ² = АС² + СВ²
АВ² = 8² + 6²
АВ² = 64 + 36
АВ² = 100
АВ = 100
АВ = 10

Задача 2. (Слайд 34)

Дано:
ДСЕ, С=90°
СЕ = 3см,
ДЕ = 5см
Найти: ДС – ?

Учитель. Перед тем, как начать решать эту задачу давайте выведем формулу для вычисления катета прямоугольного треугольника.
с² = а² + b²; а² = с² – b²; b² = c² – a².

Решение. (Cлайд 35).

По теореме Пифагора:

ДЕ² = ДС² + СЕ²

ДС²= ДЕ² – СЕ²

ДС² = 5² – 3²

ДС²= 25 – 9

ДС²= 16

ДС = 4

Ответ: 4 см.

Задача 3. Нам дан прямоугольный треугольник с прямым углом С. Известно, что АС = 8, СВ = 83. Найдите АВ. (Слайд 36)


Дано:

АВС, С=90°
АС= 8, СВ = 83
Найти: АВ – ?

Решение.

По теореме Пифагора

АВ² = АС² + СВ²

АВ² = 8² + (8<3)²

АВ² = 64 + 192

АВ² = 256

АВ = 256

АВ = 16

Ответ: 16.

3) Самостоятельная работа.

Учитель. Я надеюсь, что все вы усвоили изученную сегодня теорему. А теперь небольшая самостоятельная работа. (Слайд 37)

Дана таблица, в которой а и b – катеты, с – гипотенуза.

Задание. Заполните пустые “ячейки” таблицы. В помощь в правом углу вы видите справочную таблицу для выполнения данного задания.

а b с
6 8  
1 1  
  12 15
12   20

Ребята выполняют.

Справочная таблица

с² = а² + b²

а² = с² – b²

b² = с² – а²

Учитель. Я вижу, что все справились с данным заданием. Поработаем в парах. Обменяйтесь тетрадями и проверьте выполненное задание друг у друга. А теперь посмотрите, как должна быть заполнена эта таблица.

Экскурсовод. (Слайд 38) Вы становитесь членами нашего ордена. Теперь каждый из вас носит почетное имя пифагорейца и получает пентаграмму, как символ здоровья и счастья. (Приложение 1)

(Всем раздаются пентаграммы)

Учитель. Существует более 100 способов доказательства теоремы Пифагора. В них используются площади треугольника, подобия треугольников и т.д.

6. Подведение итогов.

Учитель. Мы возвращаемся домой. (Слайд 39)

Подведем итог нашего путешествия.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии. (Слайд 40).

Значение ее состоит в том, что с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Этой теореме даже посвящены стихи.

Рассказывают, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву 100 быков. Это послужило поводом для юмора в рассказах писателей и в стихах поэтов. Так, например, немецкий писатель А.Шамиссо написал следующие стихи.

(Ученица читает стихи, на экране слайд 41, звучит нежная мелодия).

Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора. Сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

При наличии времени можно еще рассказать о интересных фактах, связанных с теоремой Пифагора. (Слайд 42)

“Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство “убогих”,так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому “ослами”, были не в состоянии понять теорему Пифагора. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны равны”, рисовали карикатуры.” (Слайд 43, 44)

В мире существует одна единственная марка, которая посвящена это теореме (слайд 45)

7. Домашнее задание (Приложение, слайд 46)

  1. Учебник: стр. 130 теорема и доказательство.
  2. № 483(г), № 484(б, в).

Используемая литература

  1. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений/Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 12-е изд. – М. : Просвещение, 2002. – 384 с. : ил.
  2. Еженедельная учебно-методическая газета “Математика” (приложение к газете “Первое сентября” №24/2001 г.
  3. Еженедельная учебно-методическая газета “Математика” (приложение к газете “Первое сентября” №36/2001 г.
  4. Адреса в Интернете.
  5. http://vip.km.ru/vschool/?sp=0&lesson=1873
  6. http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html
  7. http://1class.edunet.uz/master.htmhttp://1class.edunet.uz/master.htm
  8. http://www.licey43.ru/biblio/mat.htm
  9. http://namangan34.connect.uz/nuraniya34/works.html
  10. http://schools.perm.ru/modules/wfdownloads/viewcat.php?op=&cid=19