Цели:
- введение понятия предела функции;
- изучение понятия предела функции;
- совершенствование умений вычислений алгебраических выражений, содержащих предел функции;
- развитие устных вычислительных навыков, математической речи учащихся, формирование аналитических и логических способностей, расширение кругозора;
- воспитание самостоятельности, интереса и уважения к изучаемому предмету.
Задачи: подготовка учащихся к изучению темы “Функции”.
Оборудование: таблицы, плакаты, карточки.
Ход урока
1. Организационный момент
2. Проверка домашнего задания. Рассмотрение неясных вопросов домашнего задания
3. Сообщение темы, целей и задачи урока
На предыдущих уроках мы уже рассматривали (и довольно подробно) предел числовой последовательности. Последовательность же есть не что иное, как функция, определенная на множестве натуральных чисел. Но интересующие нас функции будут существенно отличаться от последовательностей: они определены на промежутках, а не на множестве натуральных чисел. Это и определяет специфику понятия предела функции. Заметьте, например, что всякая конкретная сходящаяся последовательность имеет только один предел, так что фраза “предел данной последовательности” является исчерпывающей. Что же касается функции, определенной на промежутке, то с ней можно сопоставить бесконечно много “пределов”, поскольку предел функции рассматривается всякий раз в некоторой точке х = а (или, как принято говорить, при х стремящемся к а). Таким образом, надо рассматривать предел данной функции в данной точке а. При этом упомянутая точка а либо должна принадлежать области определения функции, либо должна совпадать с одним из концов этой области.
Перейдем к определению предела функции. Прежде
всего, отметим, что рассматривается некоторая
функция у = f(х), определенная на
некотором промежутке, и точка а, взятая из
этого промежутка (или совпадающая с одним из его
концов). А теперь само определение предела
функции. Число в называется пределом
функции f(х) при х стремящемся к а
(пределом в точке а), если для любого
положительного числа 
найдется такое
положительное число , что
при всех х удовлетворяющих условиям: х
принадлежит области определения функции,
будет выполняться неравенство:
При этом используется запись lim f(х) = в.
Прежде всего, отметим, что согласно неравенству
(1) точка х должна находится в интервале (а – ; а + ), причем точка х = а должна быть изъята
из указанного интервала. Интервал (а – ; а + ), без точки х = а называется
проколотой 
-окрестностью
точки а.
Итак, выбирается произвольное положительное
число 
. Для
этого числа ищется другое положительное
число – число . При
этом выдвигается требование: значение функции в
любой точке х из проколотой -окрестности точки а должно
попадать внутрь интервала (в – ; в + ), (говоря о “любой” точке х,
мы подразумеваем, что речь идет о точках х, в
которых рассматриваемая функция определена).
Если такое число в существует для любого
числа >0, то
в этом случае говорят: число в является
пределом функции в точке а.
Для более четкого представления и
определенности обратимся к графическому
понятию. Рассмотрим, например, знакомый график
функции 
. На рисунке
1 проиллюстрированы всего лишь две ситуации.
Одна отвечает выбору числа 
.
Рис. 1
Легко видеть, что число 
есть в этом случае искомое
число: значения функции во всех точках х из 1-окрестности
точки попадают внутрь интервала (в – ; в + ). Им
соответствует участок графика между точками А
и В. Вторая ситуация отвечает выбору числа 
; в этом случае
искомым числом является число 
: значениям функции в х
из -окрестности
точки а соответствует участок графика между
точками 
и 
.
“Изюминка” заключается здесь в том, что как бы
мы не уменьшали длину интервала (в – ; в + ), всегда можно
выбрать такую -окрестность
точки а, что во всех точках х из этой -окрестности (именно во
всех точках, за исключением самой точки а и
тех точек, в которых функция неопределенна)
значения функции должны обязательно попадать
внутрь указанного интервала.
Рассмотрим пример функции для которой не
выполняется данное условие. Функция 
вблизи точки х
= 0. (Рисунок 2) Очевидно, что чем меньше
, тем выше
частота, с которой график данной функции
колеблется около оси х. При сколь угодно
малых
частота этих колебаний может стать сколь угодно
большой. Легко убедится, что функция не имеет
предела в нуле. Она неопределенна в нуле. Однако
это соображение несущественно с точки зрения
вопроса о существовании (или отсутствии) предела
функции в нуле. Данная функция определена на 
и 
. Точка х = 0 является
здесь общим концом промежутков, на которых
определена функция .
Рис. 2
Итак, вернемся к вопросу о пределе. Можно ли,
например, утверждать, что в = 0 есть предел
функции в
точке х = 0. Существует одна особенность. Пока
мы выбираем число так, чтобы оно было больше единицы,
все в порядке. Если же мы выберем любое , удовлетворяющее
условию <1,
то в этом случае уже невозможно найти такую -окрестность точки х =
0, чтобы во всех точках х 
0 из этой -окрестности
значение функции оказалось внутри интервала (-; ). Какой бы малой ни
была -окрестность
точки х = 0, это будет промежуток конечной
длины, так что график нашей функции в любом
случае совершит бесконечно много колебаний и
тем самым бесконечно много раз выйдет за
пределы интервала (-; ). Чтобы убедиться в отсутствии
предела, достаточно более “скромной” ситуации:
достаточно, чтобы в любой -окрестности рассматриваемой точки
график функции хотя бы всего один раз выходил
за пределы интервала (-; ). Не только в = 0, но и любое
число в не может быть пределом функции в точке х = 0.
Ведь для любого числа в можно повторить те же
самые рассуждения, что и для числа в = 0.
Следовательно, мы убеждаемся, что функция действительно
не имеет предела в точке х = 0.
Дело обстоит не только в безгранично
возрастающей частоте колебаний графика по мере
приближения к точке х = 0, но и в сохраняющейся
при этом постоянной амплитуде колебаний. Давайте
“подправим” рассматриваемую функцию, умножив 
на х. График
функции 
показан на рисунке 3. Давайте выясним,
является ли число в = 0 пределом этой функции в
точке х = 0. Возьмем произвольное >0. Надо найти >0, такое, чтобы для всех х
(кроме х = 0), удовлетворяющих условию 
<, выполнялось неравенство 
<. Получаем, что искомое
число есть = . Ведь если < = , то, очевидно, 
<
<
(поскольку 
1).
Рис. 3
Конечно, такое доказательство оказывается
простым. Рассмотрим, например, хорошо знакомую
нам функцию 
и докажем (пользуясь определением предела
функции), что в = 1 есть предел этой функции в
точке х = 1.
При доказательстве нам придется иметь дело с
неравенством 
<. (3)
Попробуем сначала найти такую функцию g(), чтобы из
неравенства <
g() вытекало
неравенство <. Выполним
некоторые преобразования. Будем исходить из
неравенства: <, которое можно,
очевидно, переписать в виде: (1 – )<
<(
+ 1). Поскольку 
0, то, выбирая заведомо
меньше единицы (что, конечно, не нарушает
общности доказательства), можем возвести
последние неравенства в квадрат: (1 – )2 < х < (1 + )2 , или
после раскрытия скобок
(– 2
Заметим, что неравенства (4) эквивалентны
неравенству (3) (при условии, что 0 < < 1). А теперь перейдем
от (4) к более жесткому неравенству:
< (2
(поскольку 0 < < 1, то (2 – 2 ) > 0). Легко сообразить, что
если выполняется неравенство (5), то тем более
будут выполняться неравенства (4), а
следовательно и (3). Таким образом, для
произвольного 0 < < 1 достаточно выбрать = 2 – 2. Если же 1.
Тогда заведомо пригодным будет , найденное для любого < 1. По аналогии можно
утверждать, что 
, при х
2, 
,
при х 
3 и
вообще 
, при х
а.
А вот утверждение lim f(х) = f(а) при х 
бывает верно
часто, но не всегда. Ведь функция f(х) может
быть не определена в точке а. Вспомните, что
предел функции в точке х = 0 равен нулю, но сама эта
функция в точке х = 0 не определена. Нельзя, также,
считать равенство lim f(х) = f(а) справедливым
во всех тех случаях, когда функция f(х)
определена в точке а. Рассмотрим, например,
функцию, называемую “дробной частью числа х”
Мы уже знакомы с этой функцией. (Глава II §7 Учебник
Алгебра и начала анализа 10 класс (профильный
уровень), А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, Мнемозина,
2010). Эту функцию обозначают 
. Она определена на всей числовой
прямой. Разобьем числовую прямую на
полуинтервалы 
. Для х из этого промежутка имеем 
= х – п.
График функции показан на рисунке 4.
Рис. 4
Возьмем, например, х = 1. Очевидно, что
функция
определена в точке х = 1
(
= 0). Однако
предела данной функции в точке х = 1 не
существует. Попробуйте доказать это
самостоятельно.
Учащиеся самостоятельно проводят доказательство, рассуждая таким образом:
В любой –
окрестности точки х = 1 найдутся одновременно как
точки, в которых функция принимает значения больше,
например, 
,
так и точки, в которых функция принимает значения меньше 
. Значит, ни в = 1,
ни в = 0 не могут быть пределом данной функции в
точке х = 1 уже по той причине, что для = 
невозможно найти нужного числа . Значит, предела нет.
Вы только что доказали теорему единственности предела функции в данной точке: в данной точке функция не может иметь два (или более) предела.
А теперь вернемся к неравенству:
lim f(х) = f(а) при х
(6)
Мы уже убедились, что возможны ситуации, когда lim f(х) существует, а f(а) не существует, и напротив, когда f(а) существует, а lim f(х) не существует. Возможна, наконец, ситуация, когда и lim f(х), и f(а) существуют, но не равны друг другу. Рассмотрим пример.
График
этой функции показан на рисунке 5. Легко
видеть, что в данном случае f(0) = 1, в то время
как lim f(х)=0. Мы убеждаемся, что равенство (6)
справедливо отнюдь не всегда! В тех случаях,
когда оно справедливо, говорят, что функция f(х)
непрерывна в точке х = а.
Рис. 5
Таким образом, мы приходим к новому важному понятию – понятию непрерывности функции в точке. Дадим ему определение.
Функция f(х) называется непрерывной в точке х = а, если
- она определена в точке х = а,
- существует предел функции в точке х = а,
- этот предел равен значению функции х = а;
иными словами, функция f(х) называется непрерывной в точке х = а, если
lim f(х) = f(а) при х
Полагаю, что наш предыдущий разговор вплотную подводит к этому определению, так что оно не нуждается в дополнительных пояснениях. Подчеркну лишь, что понятие непрерывности функции есть понятие локальное. Как и понятие предела функции, оно относится к той или иной точке х. Функция может быть непрерывна во всех точках или же не во всех точках промежутка, на котором она определена.
Что касается наиболее часто встречающихся функций – степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических, обратных тригонометрических, то о них можно сказать, что они непрерывны во всех точках естественной области определения соответствующего аналитического выражения. То же можно сказать о сложных функциях, получаемых из указанных функций. В курсах математического анализа непрерывность всех этих функций специально доказывается. Мы же ограничимся лишь констатацией этого факта.