Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Цель урока:
- Познакомить учащихся с теоремой Пифагора. Рассмотреть несколько способов доказательства теоремы и ее применение в ходе решения задач.
- Развивать логическое мышление, исследовательские навыки.
- Прививать любовь к предмету.
Оборудование:
- медиапроектор, экран;
- портрет Пифагора;
- раздаточный материал.
Ход урока
1 этап. Организационный момент.
Кто из вас может уговорить медведя не нападать на людей? Заставить птиц изменить направление полёта? Никто?! А этот человек даже беседовал с быком, и тот под влиянием беседы перестал трогать бобы и поселился при храме… И еще очень много легенд о нем, подобно этим, можно прочитать в различных источниках. Я говорю о Пифагоре – древнегреческом ученом, философе.
Но самое интересное, что существует версия будто Пифагор – это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор – "убеждающий речью".) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора.
Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Он первый дал название своему роду деятельности. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. (Демонстрация портрета.)
2 этап. Изучение нового материала.
Решите задачу: В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, а другой – 4 см. Найдите гипотенузу.
Сейчас вы не можете быстро ответить на вопрос этой задачи. Так как не знакомы с одной из важных теорем геометрии. Давайте оставим этот чертеж на доске, а в конце урока вы дадите мне правильный ответ.
Сегодня мы познакомимся с теоремой, доказательство которой учащиеся средних веков считали очень трудным, но мы-то справимся, и называли его Dons asinorum – ослиный мост, или elefuga – бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему, служившую для них вроде непреодолимого моста. Учащиеся составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.
Это знаменитая теорема Пифагора.
Хотя некоторые историки сомневаются в авторстве Пифагора, утверждая, что её использовали самые разные древние народы. Значение ее состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии.
Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
А вот и другие формулировки теоремы:
- У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод):
"В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". - В первом русском переводе, сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема
Пифагора изложена так:
"В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".
Существуют еще формулировки этой теоремы, а вот доказательств насчитывается более 400.
Все доказательства рассмотреть на одном уроке не возможно, а вот попробовать доказать самим, да еще тремя способами мы попробуем. (Учитель заранее рассаживает учащихся по группам, т.к. задания для каждой группы учащихся будут различного уровня сложности.)
Учащиеся, следуя алгоритму указанному в карточке, самостоятельно доказывают теорему Пифагора. Далее доказательства разбираются около доски с использованием медиапроектора.
Задание для 1 группы учащихся.
Доказать теорему Пифагора способом Аннариция, багдадского математика и астронома (чертеж треугольника на бумаге, ножницы заготовлены заранее).
 |
На гипотенузе с прямоугольного треугольника с катетами a и b постройте квадрат со стороной с. |
 |
Разбейте полученный квадрат на части, проведя через вершины квадрата прямые параллельные катетам. |
 |
Вырежьте получившиеся фигуры с 1 по 5. |
| Из полученных фигур составьте квадраты на катетах. Сделайте вывод, исходя из того, что a и b – катеты, с – гипотенуза. | |
Задание для 2 группы учащихся.
Доказать теорему Пифагора древнекитайским способом, используя следующий алгоритм (необходимые чертежи на бумаге, ножницы заготовлены заранее).
 |
1.Уложите четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b и гипотенузой с так, чтобы их внешний контур образовал квадрат со стороной a + b. Какая фигура получилась внутри квадрата со стороной a + b? (Квадрат со стороной с.) |
 |
2. Вырежьте квадрат со стороной с, сохранив треугольники в прежнем положении. |
 |
3. Чему равна площадь образовавшейся
пустоты? (с2). Оставшиеся четыре треугольника уложите в два прямоугольника по пунктирным линиям. |
 |
4. Чему равна площадь образовавшихся двух пустых квадратов? |
| 5. Сравните площади фигур в пунктах 3 и 4. Сделайте вывод, исходя из того, что a и b – катеты, с – гипотенуза. | |
Задание для 3 группы учащихся.
Доказать теорему Пифагора алгебраическим способом.
 |
Достройте прямоугольный треугольник с катетами a и b до квадрата так, чтобы сторона квадрата равнялась a + b. |
 |
Какие фигуры входят в состав получившегося квадрата? (4 равновеликих треугольника с катетами a и b и квадрат со стороной с.) |
 |
Выразите площадь получившегося
квадрата через площади треугольников и квадрата со стороной с. (4 *
|
 |
4. Выразите площадь получившегося квадрата через длину его стороны (a + b)2. |
| 5.Сравните данные
полученные в 3 и 4 пунктах. Полученное выражение упростите. 2ab + с2 = (a + b)2 ; с2 = a2 + b2. Сделайте вывод. |
|
ab +
с2 = 2ab +с2).3 этап. Закрепление. Решение задач.
№ 483 (г) – разбирается с учителем с использованием медиапроектора.
№ 483 (б) – 1 вариант, № 483 (г) – 2 вариант. У доски решают двое учащихся.
№ 483 (г).
с2 = а2 + b2 = (8)2 +
(8
)2
= 64 + 192 = 256;
с = 16.
№ 483 (б).
с2 = а2 + b2 = (5)2 + (6)2 = 25 + 36 = 61;
с = 
.
№ 483 (г).
с2 = а2 + b2 =
(
)2 +
(
)2
= 
+
=
;
с = 
.
№484(д) – разбирается ход решения задачи с последующей самостоятельной записью в тетрадь. Правильность записи решения проверяется с использованием медиапроектора.
с2 = а2 + b2.
(2
)2
= (3b)2 + b2;
40 = 10b2;
b2 = 4;
b = 2.
№ 487.
Дано: ΔАВС – равнобедренный;
АВ = 17 см, ВС = 16 см, AD ┴ ВС.
Найти: АD.
Решение:
- BD = 1/2BC = 8см , т.к. ΔАВС – равнобедренный.
- По теореме Пифагора AD2 = AB2 – BD2 = (17)2 – (8)2 = 289 – 64 = 225 см2; AD = 15 см.
Ответ: 15 см.
Самостоятельная работа.
Солнечные лучи падают под углом 30º к поверхности земли. Определите, чему равна высота дерева (дерево стоит перпендикулярно к поверхности земли), если с помощью рулетки вы определили, что длина тени, бросаемой деревом на землю равна 3 м. (С помощью медиапроектора учитель демонстрирует смоделированную ситуацию.)
Решение:
(2х)2 = х2 + 32;
4х2 = х2 + 9;
х2 = 3;
, т.к х > 0.
4 этап. Подведение итогов урока.
Вернемся теперь к задаче, которую мы не решили в начале урока, так чему равна гипотенуза в прямоугольном треугольнике, если один из катетов равен 3 см, а другой – 4 см?
- Какая теорема помогла вам быстро дать ответ на вопрос задачи?
- Как она формулируется?
Домашнее задание: № 483(а), № 484(г), № 485.
- Составить задачу, на применение теоремы Пифагора, смоделировав ситуацию из жизни.
- Найти сведения о жизни Пифагора, оформив «занимательную страничку» (формат листа А4).