Цели:
- Обучающая. Систематизация изученного учащимися материала, ликвидация пробелов в знаниях учащихся.
- Развивающая . Развивать логическое мышление, математическую зоркость.
- Воспитывающая. Формировать наблюдательность, внимательность и интерес к математике.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Проверка домашнего задания.
1. Наличие работ (карточки, составленные самими учащимися, с решениями).
2. Фронтальный опрос.
а) дать определение числовой последовательности, привести пример;
(Последовательность – переменная величина, зависящая от натурального числа.
Последовательность, элементы которой – действительные числа, называется
числовой, например,
).
б) назвать виды числовых последовательностей (конечные и бесконечные), привести пример;
(Если последовательность содержит конечное число членов, то ее называют конечной. Например, последовательность двузначных чисел: 10; 11; 12; 13;…;95; 96; 98; 99.
Если последовательность содержит бесконечное число членов, то ее называют бесконечной, например, 2; 4; 6; 8; 10; 12;…; 2n).
в) дать определение арифметической прогрессии, привести пример;
(Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом, например, 1; 5; 9; 13; 17;…).
г) дать определение геометрической прогрессии, привести пример;
(Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Например, 2; -6; 18; -54;…).
д) как обозначаются члены геометрической прогрессии? Привести пример;
(
члены
геометрической прогрессии, например, если 2; -6; 18; -54;… - геометрическая
прогрессия, то 
).
е) что называют знаменателем геометрической прогрессии? Привести пример;
(Отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену, называется знаменателем геометрической прогрессии, например,
).
ж) какими замечательными свойствами обладают члены геометрической прогрессии? Привести пример;
(10. Характеристическое свойство: для всех
bn+1. Например, если 3; 6; 12; 24;
48;… - геометрическая прогрессия, то
20. 
30. 
).
з) как найти n-й член геометрической прогрессии? (вывод формулы), привести пример;
Например, если
а
q = 2, то
).
и) как доказать истинность формулы
?
(доказать методом математической индукции).
(Предложение A(n) считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия:
1. Предложение A(n) истинно для n = 1.
2. Из предложения, что A(n) истинно
для n = k, где k
– любое натуральное число, что оно истинно и для
следующего значения n = k + 1).
.
1. Пусть n = 1, тогда
,
высказывание А(1) истинно.
2. Предположим, что для некоторых значения
истинно. Тогда, так как
,
очевидно, что и A(k + 1) истинно.
Действительно,
,
ч.т.д.).
к) как задать геометрическую прогрессию? Привести пример;
(Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и знаменатель. Например, пусть b1 = 4 и q = 0,1, то получим геометрическую прогрессию: 4; 0,4; 0,04; 0,004; 0,0004;…).
л) как найти сумму n – первых членов геометрической прогрессии? (вывод формул), привести пример;
(Пусть
первых
членов геометрической прогрессии (bn),
тогда 
.
Умножим обе части на
.
Учитывая, что
,
,
получим:
.
Найдем разность
. Отсюда
следует, что
при
(I).
Так как 
,
то получим:
(II)
при .
Например, если -5; -10; -20; -40;… - геометрическая прогрессия, то
.
Пусть
,
тогда 
,
отсюда 
).
м) какое число называется суммой бесконечной геометрической прогрессии?;
вывод формулы
;
(Пусть
геометрическая
прогрессия, где
.
, так как
, то
, а значит,
, и
бесконечная геометрическая
прогрессия имеет сумму только при
. Например, найдем
S, если
).
3. Устный счет:
а) является ли последовательность (Xn) – геометрической прогрессией:
1) 7;7;7;…; 3) 5;0;7;0;9;0;…;
2) 1;4;16;64;…; 4) 2;6;18;54;…?
(1) 
да, является;
2) 
да, является;
3) 
не является.
4) 
да, является.)
б) назовите первый, третий, пятый члены последовательности, заданной формулой
, будет ли последовательность
геометрической прогрессией?; чему равен знаменатель прогрессии?
знаменатель геометрической
прогрессии).
в) известно, что числа
образуют геометрическую прогрессию, является ли геометрической прогрессией
последовательность 
(
да, последовательность
является геометрической
прогрессией).
г) последовательность (bn)
геометрическая прогрессия, в которой b1 =
3,
; выразить:
.
(
;
;
;
).)
III. Расширение и углубление знаний учащихся по данной теме.
Упражнение 1. Докажите, что если (bn) геометрическая прогрессия, то
для любого 
выполняется
равенство:
.
Решение.
Если (bn)
– геометрическая
прогрессия, то
, значит,
;
, а
, отсюда:
; так как
, то
, что и требовалось доказать.
Упражнение 2. В геометрической прогрессии (xn):
а) 
найти
q и
n.
б) 
, найти
n и
xn
Решение.
а) 
,
.
б)
Упражнение 3. В геометрической прогрессии (bn)
. Найти
S10.
Решение.
;
;
;
.
Упражнение 4. Знаменатель геометрической прогрессии (bn) равен -2, а S5 = 11. Найти b7.
Решение.
, отсюда имеем, что
, значит,
.
Упражнение 5. Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии:
; 4;
;…
Решение.
.
Значит,
.
.
Упражнение 6. (Дополнительное). Разность между пятым и третьим членами геометрической прогрессии равна 144, а между четвертым и вторым равна 48. Найти сумму шести первых членов этой прогрессии.
Решение.
.
по условии.
Так как
, то
;
Так как 
то
;
.
;
.
Итак,
Ответ: S6 = 728.
IV. Итог урока. (выставление отметок)
V. Домашнее задание (по записи).
Повторить п. 18–20 (определения, формулы); подготовиться к контрольной работе.
Упражнение 1.
Найти сумму восьми первых членов геометрической прогрессии (bn) с положительными членами, зная, что b3 = 0,05 и b5 = 0,45.
Упражнение 2.
Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии: 36; -12; 4;…
Упражнение 3.
Определить первый член, знаменатель и сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что разность между ее пятым и третьим членами 72, а разность между четвертым и вторым 36.