Цель урока:
- закрепление темы;
- развитие умения анализировать происходящие изменения;
- использование знаний по экономике;
- воспитание творческой активности на уроке.
Оборудование: компьютер, проектор, плакаты.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент
Класс делится на группы:
– администрация предприятия (директор);
– экономист-теоретик;
– экономисты;
– математики;
– расчетная группа.
Мы проводим заключительный урок по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии». В ходе подготовки к игре вы познакомились с экономическими процессами и терминами, с математическим обоснованием этих процессов, искали интересные задачи.
2. Начинаем совещание
Директор. Мы должны проанализировать работу предприятия, наметить дальнейший план работы. Прежде всего нас интересует эффективность работы. Мы будем изучать ее по нескольким направлениям: прибыль, налоги, индексация заработной платы, расходы на рекламу», себестоимость продукции.Слово экономисту-теоретику.
Экономист-теоретик. Под экономической эффективностью понимается «способ организации производства», при котором затраты на производство определенного количества продукции минимальны.
Задача 1.
Экономист. У нас образовалась прибыль в размере 5000 у. е. Есть три банка, в которые можно вложить деньги : 1-й банк – простые проценты из расчета 3% в месяц; 2-й банк – под простые проценты из расчета 40 % в год; 3-й банк – под сложные проценты из расчета 30 % в год. Мы хотим положить деньги на три года. В каком банке это наиболее выгодно?
Экономист-теоретик. Вы знаете, что банк за возможность использовать деньги, платит проценты, т. е. денежные средства.
Директор. Просим специалиста – математика разобраться с понятием простых и сложных процентов.
Первый математик. Простые проценты
– это прообраз арифметической прогрессии.
Постоянно за определенный промежуток времени
(месяц, год) начисляется одна и та же сумма,
определенная количеством процентов. В
рассматриваемой задаче 1-й – банк каждый месяц
начисляет 3 % = 0,03 от суммы 5000 у. е. то есть а1 = 5000, d =
0,03 х 5000 = 150, d = 150, n = 37. a37 – ?
2-й банк каждый год начисляет 40% = 0,40 от суммы 5000
у.е. то есть a1 =5000, d = 0,4 х 5000 = 2000, n =
4, an – ?
Под a1 подразумевается сумма на начало года,
поэтому an – это сумма на конец третьего года.
Сложные проценты начисляются иначе: 3-й банк дает
30 % в год. Это значит, что каждый год сумма
увеличивается в 1,3 раза (100% + 30 %).
Здесь мы имеем дело с геометрической прогрессией
b1 = 5000, q = 1,3, b4 – ?
Директор. Прошу расчетную группу произвести расчеты, а экономиста дать заключение.
(Расчетная группа производит расчеты)
Решение задачи № 1
На 3 года
1) a1 =5000
у.е.
3 % = 0,03 от 5000
d = 0,03 х 5000 = 150, d = 150, a37 – ?
a37 = a1 + 36d = 5000 + 36 х 150 = 5000 + 5400 = 10400
a37 = 10400
2) 40% = 0, 40 от
5000 a1 = 5000
d= 0, 4 х 5000 = 2000 a4 – ?
a4 = a1 + 3d = 5000 + 3 х 2000 = 11000
a4 = 11000 – выгоднее
3) 30% =
0,30
b1 = 5000, q = 1,3
(100% + 30% = 130% =
1,3)
b4 – ?
b4 = 5000 х 1,33 = 5000 х 2,197 = 10985
b4 = 10985
Ответ: выгоднее во втором банке.
На 5 лет
1) a61 = a1 + 60d = 5000 + 60х 150 = 5000 + 9000 = 14000
a61 = 14 000
2) a6 = a1 + 5d = 5000 + 5 х 2000 = 15000
a6 = 15000
3) b6 = b4 х q2 = 10985 х 1, 32 = 10985х 1,69 =18564,65
b6 = 18564,65 – выгоднее
Ответ: выгоднее в третьем банке.
Экономист. Выгоднее вложить деньги во 2-й банк. Но в дальнейшем ситуация может измениться. Произведите расчеты, если мы хотим положить деньги на 5 лет.
Экономист. На 5 лет лучше положить в 3-й банк.
Директор. На предприятии выпускается продукция нескольких видов. Мы продаем ее и в городе, и по всей России. Прошу экономистов предоставить информацию.
Экономист-теоретик. Под оборотом товаров понимается транспортировка, хранение и реализация товара.
Задача 2:
Экономист. Оборот продукции в городе увеличивается на 20% от первоначального ежегодно, а по всей России – в 1,2 раза. Начальный оборот год назад составлял 10000 у.е. Где будет более выгодно продавать нашу продукцию через год?
Второй математик. Оборот
продукции в городе подчиняется законам
арифметической прогрессии: a1 = 10000, d = 0,2 х 10000 = 2000,
a3 – ?
Необходимо найти a3.
Оборот по России подчиняется геометрической
прогрессии: b1 = 10000, q = 1,2.
Найти b3.
(Расчетная группа производит расчеты).
Решение задачи № 2
20% = 0,20 от 10000 у.е.
a1 =10000, d = 0,2 х 10000 = 2000 a3 – ?
b1 = 10000, q = 1, 2, b3 – ?
a3 = a1 + 2d = 10000 + 2 х 2000 = 14000
a3 = 14000
b3 = b1 х q2 = 10000 х 1, 22 = 10000 х 1,44 = 14400
b3 = 14400
Ответ: выгоднее по России
Экономист. Выгоднее продавать продукцию по России, но необходимо будет провести дополнительные исследования, так как затраты на транспортировку и хранение товаров могут оказаться большими, мы не получим ожидаемой прибыли.
Директор. Оставим этот вопрос для дальнейших исследований, а пока проанализируем себестоимость нашей продукции на сегодняшний день. Слово экономисту-теоретику.
Экономист-теоретик. Под себестоимостью понимают «затраты предприятия на производство и реализацию товара в денежном выражении».
Задача 3.
Экономист. Себестоимость
первых партий товара составила 100 у.е.
Из-за увеличения стоимости электроэнергии
себестоимость каждой следующей партии в первом
подразделении увеличивалась в 1,2 раза, а во
втором– на 25 % от себестоимости первых партий. В
каком подразделении выгоднее выпустить три
партии данной продукции?
Третий математик. В первом
подразделении «работает» геометрическая
прогрессия: b 1 = 100, q = 1, 2 . Найти b 4 – ?
Во втором – арифметическая : a1 = 100, d = 25. Найти a4.
(Расчетная группа производит расчеты).
Решение задачи №3
b1 = 100, q = 1,2 b4 – ?
b4 = b1 х q3 = 100 х 1, 23 = 100х 1, 728 = 172, 8
b4 = 172,8 выгоднее
a1 = 100, d = 0, 25 х 100 = 25 d =
25 a4 – ?
a4 = a1 + 3d, a4 = 100 + 3 х 25 = 175
a4 = 175
Экономист. Выгоднее выпустить эту продукцию в первом подразделении.
Директор. Рассмотрим теперь вопрос, связанный с работой сотрудников на предприятии. Нас интересует численный состав работников и их заработная плата.
Экономист-теоретик. Заработной платой называют « денежные средства, получаемые работником за свой труд».
Задача 4.
Экономист. Численность сотрудников на предприятии 50 человек, а рабочих – 100 человек. В течение трех лет мы планируем ежегодно увеличивать на 20 % от начального количества численность сотрудников и в 1, 1 раза – число рабочих. Сможем ли мы на предприятии содержать такой штат, если зарплату можно выплатить лишь двумстам работающим?
Четвертый математик. Численность
сотрудников подчиняется арифметической
прогрессии: a1 = 50, d = 10, a3 = ?
Численность рабочих – геометрической
прогрессии: b1 = 100, q = 1,1, b3 – ?
Необходимо проверить неравенство: a3 + b3 = 200.
(Расчетная группа производит расчеты).
Решение задачи №4
a1 = 50, d = 0,2 х 50 = 10 d = 10 a3
– ?
a3 = a1 + 2d
a3 = 50 + 2 х 10 =
70
a3 = 70
b1 = 100, q = 1,
1
b3 – ?
b3 = b1 х q2; b3 = 100 х 1, 12 = 100 х 1,
21 = 121
b3 121
a3 + b3 < 200
70 + 121 < 200
191 < 200
Ответ: да.
Экономист. Да, сможем. Но через три года нам придется еще раз продумать решение этой проблемы.
Директор. На предприятии установлена индексация заработной платы в зависимости от инфляции. Просим теоретика пояснить эти понятия.
Экономист-теоретик. Инфляция – рост цен на товары, вызванный обесцениванием денег. Индексация – регулярное изменение заработной платы в зависимости от роста стоимости жизни.
Задача 5.
Экономист. В течение года
ожидается инфляция около 10 % в месяц от уровня
января. В январе работник получил 80 у.е. Превысит
ли его годовая зарплата 1400 у.е.?
Пятый математик. Так как на нашем предприятии
индексация и инфляция тесно связаны друг с
другом, то a1 = 80, d = 8. Необходимо найти S12.
(Расчетная группа производит расчеты ).
Решение задачи № 5
10% = 0,1
a1 = 80, d = 0,1 х 80 = 8, d = 8 S12 – ?
2a1 +
11d
2 х 80 + 11 х 8
S12 = ––––––– х 12 ;
S12 = –––––––––––––– х 12 = (160 +
88) х 6 = 248 х 6 = 1488
2 2
S12 = 1488 1488 > 1400
Ответ: да.
Экономист. Да, превысит. Администрации необходимо предпринять шаги для решения этой проблемы.
Директор. Мы учтем пожелания экономистов. Вы знаете, что наше предприятие выпустило акции, которые стали пользоваться спросом. Прошу теоретика проанализировать это.
Экономист-теоретик. Владельцами нашего предприятия является большое число акционеров. Они являются владельцами денежных средств, переданных предприятию. Каждый из них имеет право на часть прибыли и отвечает по части обязательств. Выпущенные нами акции являются ценными бумагами, выданными акционерам в обмен на полученные от них денежные средства. Акции приносят владельцам хорошие дивиденды (часть чистой прибыли). Поэтому они и пользуются спросом.
Задача 6.
Экономист. Пять лет назад мы
выпустили акции на 10000 у. е. Ежегодно выпуск акций
увеличивался в 1,2 раза. В год мы можем выпустить
акции на 30000 у. е. Сколько лет можно еще
увеличивать выпуск акций по тому же закону?.
Шестой математик. В данном случае мы имеем
дело с геометрической прогрессией: b1 = 10000, q = 1,2, b5
– ? Необходимо найти n, удовлетворяющее условию bn <
30000.
(Расчетная группа производит расчеты).
Решение задачи №6
10000 у.е.
b1 10000, q = 1, 2 b5 – ? bn < 30000
n – ?
4
4
b5 = b1 х q, b5 = 10000 х 1, 2 = 10000 х 2, 0736 = 20736
b5 = 20736
b7 = 20736 х 1, 22 = 20736 х 1, 44 = 29859,84
29859,8 < 30000
n = 2 + 5 = 7
n = 7
Ответ: еще 2 года.
Экономист. Можно еще два года продолжать увеличивать выпуск акций. В дальнейшем будет необходимо разработать новую тактику для выпуска акций.
Директор. Для того чтобы повысить прибыль, необходимо более активно рекламировать нашу продукцию. Слово экономисту.
Задача 7.
Экономист. Стоимость изготовления листовок в одной типографии такова: за первую партию – 100 у. е., каждая следующая на 4% дешевле предыдущей. В другой типографии первая партия стоит 100 у. е., а каждая следующая имеет скидку 10 %. Где выгоднее разместить заказ на три партии?
Седьмой математик. Скидка в 10% означает, что мы имеем дело с геометрической прогрессией: b1 = 100, q = 0, 9. В первой типографии работает арифметическая прогрессия: a1 =100, d = – – 4. Необходимо сравнить s3 в обоих случаях.
(Расчетная группа производит расчеты).
Решение задачи №7
b1 = 100, q = 0, 9. S3 – ?
b1 ( q3
– 1
)
100 (0,93 – 1) 100
(0,729 – 1) 100 х (– 0,271)
S3 =
–––––––––––;
S3 = ––––––––––– =
––––––––––––– =
––––––––––––– = 271
q
–
1 q
–
1
0,9 –
1 –
0,1
S3 = 271
1) a1 = 100, d = – 4 . S3 – ?
2a1 +
2d
2х100 + 2(–
4) 200
– 8 192
S3 = ––––––––– х 3 =
–––––––––––––– х 3 = –––––––– х
3 = ––––– х 3 = 96 х 3 = 288
2
2
2
2
S3 = 288
Ответ: выгоднее в первой типографии.
Экономист. Разместить заказ выгоднее в первой типографии.
Директор. Последний вопрос нашего совещания – это налоги. Слово экономисту.
Экономист-теоретик. Каждое предприятие обязано платить налоги – часть своего дохода для содержания бюджета.
Задача 8.
Экономист. Насколько невыгодно платить налоги в конце года вместо ежемесячных выплат? Ежемесячно оплачивается 40 % от прибыли 5000 у. е. или за целый год платится налог в конце года, но за каждый месяц просрочки необходимо платить не только налог, но и 0,3 от суммы налога.
Восьмой математик. В случае
просрочки за декабрь платится 2000 у.е ., за ноябрь
2000 + 0,3 х 2000 = 2600 у. е. , за октябрь 2600 + 0,3 х 2000 = 3200 у. е.
, т.е. мы имеем арифметическую прогрессию 2000, 2600,
3200, …
a1 = 2000, d = 600. Найти s12. В первом случае найти сумму
налога очень просто: 40% = 0,4, 0,4 х 5000 = 2000 у. е. s = 2000 х12
= 24000 у. е.
(Расчетная группа производит расчеты).
Решение задачи №8
40% = 0,40, 0,4 х 5000 = 2000
S = 2000 х 12 = 24000 у.е. выгоднее в 3 раза
2) a1 = 2000, d = 600, S12 – ?
2 a1 +
11d
2 х 2000 + 11 х 600
S12 = –––––––––– х 12 ; S12 =
–––––––––––––––––– х 12 = (4000 + 6600) х 6 =
10600 х 6 = 63600
2
2
S12 = 63600 почти в 3 раза
Ответ: платить налоги ежемесячно выгоднее почти в три раза.
Экономист. Платить налоги ежемесячно выгоднее почти в три раза.
Директор. Мы рассмотрели все вопросы , связанные с работой нашего предприятия.
Итог урока.
Задание на дом. Задача 1; 2.
Обследование включает шесть этапов. Стоимость
каждого последующего этапа на 5 у.е. больше
предыдущего. Сколько необходимо заплатить за все
обследования, если первый этап стоит 40 у.е.?
По условию первого договора сумма увеличивается
в 1,04 раза. По условию второго договора к той же
сумме начисляется каждый месяц 5% от
первоначальной. В каком из договоров сумма будет
больше по истечении года?, по истечении 8 месяцев?
Решения домашних задач.
(Исследование?)
Обследование включает шесть этапов. Стоимость каждого последующего этапа на 5 у.е. больше предыдущего. Сколько необходимо заплатить за все обследование, если первый этап стоит 40 у.е.?
Решение:
a1 = 40, d = 5. a6 – ?
a6 = a1 + 5d, a6 = 40 + 5 х 5 =
65. a6 = 65
40 + 45 + 50 + 55 + 60 + 65 = 315 у.е.
Ответ: 315 у.е.
По условию первого договора сумма увеличивается в 1, 04 раза. По условию второго договора к той же сумме начисляется каждый месяц 5 % от первоначальной. В каком из договоров сумма будет больше по истечении года? По истечении 8 месяцев?
Решение:
1) b1 = х ? q = 1, 04, b12 – ? , b8 – ?
b12 = х х q12 = 1, 0412х , b12 = 1,0412х
b8 = х х q8 = 1, 048х, b8 = 1, 04 х
2) a1 = х, d = 0,05 х 100 = 5
d = 5 a12 – ? a8 – ?
a12 = х + 11d
a12 = х + 11 х 5 = х + 55
a12 = х + 55
a8 = х + 7d
a8 = х + 75 = х + 35
a8 = х + 35
Ответ: в первом