Цель: подвести учащихся к необходимости систематического поиска вариантов для решения задач, готовящих их к изучению комбинаторики.
ХОД ЗАНЯТИЯ
1. Сегодняшнее наше занятие посвящено
задачам, которые решаются способом перебора.
Начнем с задачи № 104, которую вы решали в начале
года, оформляя ее на альбомных листах. Вы уже
знали, что ломаных должно быть 12, и поэтому
стремились изобразить именно 12 ломаных, но у
многих одна и та же ломаная начерчена несколько
раз, например, ABCD, DCBA – это одна и та же ломаная.
Давайте, прежде, чем чертить, переберем все
варианты.
Во-первых, повторим понятие ломаная.
Рисунок 1
Итак, задача № 104. Сколько всего различных незамкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A, B, C, D? [1]
Рисунок 2
Решение.
Вначале давайте в качестве одного конца возьмем точку А. Её можно соединить с точками В, С и D, далее, точку В соединяем с точкой С или с точкой D, точку С с точкой В или с точкой D, точку D с точкой В или с точкой С. Изобразим это на рисунке.
Рисунок 3
Получили ломаные ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB. Всего 6 ломаных.
Аналогично:
Рисунок 4
Получили ломаные BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA. Всего 6 ломаных. Ломаные BCDA и BDCA были получены в первом случае, поэтому их исключаем, остаётся 4 ломаных.
С концом в точке С рассмотрим следующие ломаные:
Рисунок 5
Их 6: CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA. Ломаные CADB, CBDA, CDAB, CDBA были получены ранее, поэтому их исключаем, остаётся 2 ломаных.
Рисунок 6
С концом в точке D получим ломаные DACB, DABC, DBCA, DBAC,
DCAB, DCBA. Всего 6 ломаных, и все они были уже получены
ранее.
Таким образом, из 24 рассмотренных получается
6+4+2=12 различных ломаных или 24 : 2 = 12.
Ответ: 12.
Задача № 105.
Сколько всего различных замкнутых ломаных можно построить с вершинами в точках A, B, C, D? [1]
Рисунок 7
Решение.
Поскольку ACDB = DBAC = BDCA = CABD = BDCA = CABD = ACDB = DBAC, то, используя решение задачи № 104, получим 24 : 8 = 3.
Ответ: 3.
2. Задача.
Заполнить клетки крестика цифрами 1, 3, 5, 7, 9 так, чтобы сумма цифр, стоящих по горизонтали, равнялась сумме цифр, стоящих по вертикали. [2]
Рисунок 8
В условии задачи не уточнено, что надо заполнить клетки всеми возможными способами или указать хотя бы один способ заполнения. Учащиеся находят несколько способов, обычно ставя в центр крестика цифру 5. но некоторые могут поставить в центр и другую цифру. И тогда возникает вопрос: а любую ли из этих цифр можно поставить в центр крестика? В ходе обсуждения выясняем, что в центр можно поставить или 5, или 1, или 9. 3 или 7 поставить нельзя, так как суммы при этом будут неодинаковыми. Предлагается найти все способы для каждой из трех цифр: 5, 1 и 9. Рассуждения такие: пусть в центре стоит цифра 5, поставим слева цифру 1, тогда справа может стоять только 9, вверху 3 или 7, тогда внизу 7 или 3, то есть способов два. Если слева поставить цифры 3 ,7, 9, то способов будет еще шесть, всего восемь. Добавим восемь способов с цифрой 1 в центре и восемь способов с цифрой 9 в центре, всего получится двадцать четыре способа.
Ответ: 24 способа заполнения.
3. Итак, подведём итоги. Некоторые задачи математики можно решить способом систематического перебора, то есть придумав какой-то порядок для нахождения всех вариантов. Такие задачи в математике называются комбинаторными.
Дома ребятам предлагается на альбомном листе еще раз начертить все ломаные к задаче 1 и все крестики к задаче 2.
Используемая литература:
- Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5 класс – М.: Мнемозина, 2009 год
- Журнал «Математика в школе» №4 – 2006 г. с. 42-45