Урок математики в 8-м классе по теме "Решение квадратных уравнений с применением теоремы Виета"

Разделы: Математика

Тип урока: повторение пройденного и обобщение изученного.

Задачи урока:

  1. Обеспечить закрепление теоремы Виета, обратить внимание учащихся на
    решение квадратных уравнений ах2 + вх + с = 0, в которых а + в + с = 0 или а – в + с = 0.
  2. Привить навыки устного решения таких уравнений.
  3. Способствовать выработке у школьников умения обобщать изученные факты.
  4. Развивать самостоятельность путём составления ими уравнений.

Ход урока

Девиз урока:
«Обдумай цель раньше, чем начать».

I. Сообщение темы и цели урока.

- Сегодня на уроке мы познакомимся с очень интересными свойствами некоторых квадратных уравнений.

II. Проверка домашнего задания.

- Ребята! Вы решали квадратные уравнения при помощи теоремы Виета или ранее изученных формул.

Уравнения записаны на доске. Ученики называют корни квадратных уравнений.

1) х2 + х – 2 = 0,   -2 и 1;
2) х2 + 2х – 3 = 0,   -3 и 1;
3) х2 – 3х + 2 = 0,   2 и 1;
4) х2 – х – х = 0,   -1 и 2;
5) х2 – 2х – 3 + 0,   -1 и 3;
6) х2 – 3х – 4 + 0,   -1 и 4;
7) х2 + 7х + 12 = 0,   -4 и -3;
8) 5х2 + 11х + 2 = 0,   -2 и ;
9) х2 – 8х + 15 = 0,   3 и 5;
10) 3х2 – 10х + 8 = 0,   и 2;
11) х2 – х – 6 = 0,   -2 и 3;
12) 5х2 – 9х – 2 = 0,   и 2.

После проверки правильности решения уравнений 1 ученик на доске доказывает теорему Виета, 2 ученик рассказывает о Ф.Виете и его вкладе в развитие математики.

III. Повторение пройденного и обобщение изученного.

Беседа с классом.

- Какова сумма коэффициентов в уравнениях 1-3 домашнего задания, какое число является корнем каждого из них?
(Ответы: 1 + 1 – 2 = 0, 1 + 2 – 3 = 0, 1 – 3 + 2 = 0; единица.)

После беседы учащиеся приходят к выводу:
Если в уравнении ах2 + вх + с = 0, а + в + с = 0, то один из корней равен 1, а другой в соответствии с теоремой Виета равен .

Обратные утверждения:
Если один из корней квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 равен 1 , то а + в + с = 0 и второй корень равен (1).

IV. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Учащиеся решают уравнения, используя полученные утверждения:

1) х2 + 14х – 15 = 0;
2) 7х2 + 22х – 29 = 0;
3) 9х2 – 24х + 15 = 0;
4) х2 + 18х – 19 = 0.

После выполнения уравнений учитель предлагает ученикам рассмотреть зависимость между коэффициентами в уравнениях 4-6 домашнего задания, каждое из которых имеет корень – 1: 1 – (-1) – 2 = 0, 1 – (-2) – 3 = 0, 1 – (-3) – 4 = 0.

После беседы учащиеся делают вывод:
Если в уравнении ах2 + вх + с = 0, а – в + с = 0, то один из его корней равен – 1, а другой равен – .

Учитель сообщает ученикам, что справедливы и обратные утверждения.

V. Закрепление материала.

Устно:

1) 2х2 + 3х + 1 = 0;   2 – 3 + 1 = 0, то х1 = -1, х2 = -1/2
2) 5х2 – 4х – 9 = 0;   5 – (-4) – 9 = 0, то х1 = -1, х2 = -1,8
3) 7х2 + 2х – 5 = 0.   7-2-5=0, то х1 = -1, х2= -5/7

Устное решение уравнений вызвало положительный эмоциональный настрой учащихся.

VI. Самостоятельная работа.

Решить уравнения:

I вариант   II вариант
1) х2 + 17х – 18 = 0;   1) х2 + 23х – 24 = 0;
2) 2х2 – х – 3 = 0;   2) 5х2 – х – 6 = 0;
3) х2 – 39х – 40 = 0;   3) х2 – 37х – 38 = 0;
4) 14х2 – 17х + 3 = 0;   4) 13х2 – 18х + 5 = 0;
5) 100х2 – 97х – 197 = 0.   5) 100х2 – 83х – 183 = 0.

Решение работы проверяется фронтально в классе.

Дополнительно (для тех, кто решил самостоятельную работу).

1) (5х + 1)2 + 6(5х + 1) – 7 = 0;
2) х4 – 8х2 – 9 = 0.

Упражнения повышенной сложности вызвали у учащихся повышенный интерес.

VII. Заключительная часть урока.

Рассмотрим уравнения 7-12 домашнего задания.

Вывод (замечательное свойство корней квадратного уравнения):
«Если квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет хотя бы один корень, то он является делителем свободного члена».

Решите уравнения, используя это свойство:
5х2 – 13х + 6 = 0 и 2х2 – х – 15 = 0.

VIII. Домашнее задание.

Дома: §25, §29.

Найдите корни квадратного уравнения: ах2 + вх + с = 0, если

1) а + в + с = 0;
2) а – в + с = 0;
3) 4а + 2в + с = 0;
4) 4а – 2в + с = 0.

Составьте три квадратных уравнения, имеющих один из корней, равный 1, и три квадратных уравнения, имеющих один из корней, равный -1 (решение проверить по формулам корней квадратных уравнений).