Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
- Образовательная – рассмотреть основные свойства числовых функций и проиллюстрируя их графически; дать им более точные определения.
- Развивающая – развитие логического мышления, анализа, памяти.
- Воспитательная – воспитание уверенности, внимания.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация.
Актуальность:
- задания по данной теме встречаются в ГИА по математике в 9 классе и в ЕГЭ - 11 класса;
- чтение графиков функций имеет большое практическое значение.
Ход урока
1. Оргмомент.
2. Сообщение темы и целей урока.
3. Объяснение нового материала.
Любая функция характеризуется определенными свойствами. Часть этих свойств было рассмотрено в 7 – 8 классах. Теперь необходимо систематизировать эти свойства и использовать их при построении и исследовании конкретных функций.
На этом уроке мы рассмотрим основные свойства числовых функций и проиллюстрируем их графически. К основным свойствам функции относятся ее область определения и область значений, ограниченность функции сверху или снизу, наименьшее и наибольшее значение функции, возрастание и убывание функции, а также понятие монотонности и непрерывности. Дадим определения основных свойств, а также решим ряд примеров на чтение графика функции.
- Какие свойства функций вам знакомы из курса алгебры 7 – 8 классов?
- Дадим более точные определения перечисленным свойствам функций и закрепим их при чтении графиков. (Презентация)
1. Область определения и область значения функции.
Пусть числовые множества Х и У. Если указано правило f, позволяющее поставить в соответствии каждому элементу х из Х определенный элемент у из множества У, то говорят, что задана функция y = f(x) c областью определения Х и областью значений У.
Для области определения функции y = f(x) принято обозначение D(f), для области значений – обозначение E(f). (Слайд 2)
Пример на нахождение области определения и области значений функции. (Слайд 3, 4)
2. Монотонность функции.
Рассмотрим еще одно свойство функции – монотонность (т. е. возрастание или убывание функции).
Определение 1. Функцию y = f(x) называют возрастающей на множестве 
, если для любых двух элементов х1 и х2 множества Х, таких что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1)<f(х2). (Cлайд 5)
Определение 2. Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве , если для любых двух элементов х1 и х2 множества Х, таких что х1 < х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2). (Слайд 5)
Пример на нахождение промежутков возрастания и убывания функции. (Слайд 8)
3. Ограниченность.
Определение 3. Функцию y = f(x) называют ограниченной снизу на множестве , если существует число m такое, что для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x)>m.
Определение 4. Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве , если существует число М такое, что для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x)<M. (Слайд 6)
Пример. (Слайд 9)
4. Наименьшее и наибольшее значение функции.
Определение 5. Число m называют наименьшим значением функции y = f(x) на множестве , если:
- существует число х0 из множества Х такое, что f(x0) = m;
- для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x) f(x0).
Определение 6. Число M называют наибольшим значением функции y = f(x) на множестве , если:
- существует число х0 из множества Х такое, что f(x0) = M;
- для любого значения х из множества Х выполняется неравенство f(x) f(x0). (Слайд 10,11)
Пример на нахождение наименьшего и наибольшего значений функции. (Слайд 7)
5. Выпуклость функции.
В 7 – 8 классах мы упоминали еще два свойства функции. Первое называли свойством выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит, ниже проведенного отрезка. Функция выпукла вверх на промежутке Х, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит, выше проведенного отрезка. (Слайд 12)
Пример на определении выпуклости функции. (Слайд 13)
6. Непрерывность функции.
Второе свойство – непрерывность функции на промежутке Х – означает, что график функции на промежутке Х – сплошной, не имеет разрывов.(Слайд 14)
Пример на нахождение промежутков непрерывности функции. (Слайд 15)
7. Четные и нечетные функции.
Четность и нечетность функции мы могли с вами определять только по графику. Сейчас дадим более точное определение, которое позволить определять четность и нечетность функции не только по ее графику, но и функции заданной аналитически.
Определение 7. Функцию y = f(x), где х из множества Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = f(x).
Определение 8. Функцию y = f(x), где х из множества Х называют четной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(-x) = -f(x).(Слайд 16)
Пример. (Слайд 15)
4. Практическое задание.
Класс делится на 6 групп.
Задание для групп: Используя схематический график указанной функции, описать ее свойства. Выступить одному из участников каждой группы у доски.
1 группа: линейная функции у = кх + m.
2 группа: функция у = кх2.
3 группа: функция у = к/х.
4 группа: функция у = 
5 группа: функция у = 
6 группа: функция у = ах2 + bx + c.
5. Выступление у доски.
6. Задание из учебного пособия: № 10.14
7. Итог урока.
Одно задание для всех групп. (Слайд18) Каждая группа самостоятельно читает график функции изображенный на слайде. Затем меняются ответами и проверяют. Один учащийся (по желанию) у доски читает этот график. Если есть ошибки, то они исправляются по ходу чтения графика.
8. Домашнее задание. §8, 10 – читать, учить; № 10.16. (Домашнее задание подробно объяснить по книге)
Литература:
- А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Алгебра, Часть 1, Учебник 9 класс.
- А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Алгебра, Часть 2, Задачник 9 класс.
- Сборник тестовых заданий, Алгебра 9, Лаборатория аттестационных технологий, Московский институт повышения квалификации работников образования.