Решение алгебраических уравнений и уравнений, содержащих знак модуля. 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Цель: повторить алгоритмы решения основных видов алгебраических уравнений, закрепить их применение в решении уравнений; развивать внимание, умения анализировать и сравнивать, делать выводы; воспитывать настойчивость, аккуратность, проводить самооценку.

Оборудование: плакаты с формулами уравнений и алгоритмами их решения, индивидуальные карточки для самостоятельной работы.

Литература:
  1. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. «Алгебра и математический анализ» 10 класс. Москва «Просвещение» 2008 г
  2. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. «Уравнения и неравенства» Москва. «Дрофа» 2005

Ход урока

I. Организационный момент (3 мин)

Учитель сообщает тему и цель урока и предлагает учащимся сформулировать задачи урока

II. Повторение и развитие (12 мин)

1) Повторение видов уравнений и алгоритмов их решения

При подготовке к уроку учащиеся, работая в парах, сформулировали алгоритмы решения основных видов уравнений, которые они демонстрировали на доске с комментариями:

Общее алгебраическое уравнение
an nn + ...+a0=0, an ≠ 0

Алгоритмы решения:
  1. Найти все делители a0, an, a0/an; а0, аn ≠0
  2. Из данных чисел отобрать те, которые удовлетворяют решению уравнения с использованием теоремы Безу: Р(х)= (х-а1)*...*Q(х)=0.

Или

  1. Найти все делители a0, an, a0/an; а0, аn ≠ 0
  2. Из данных чисел отобрать корни данного уравнения.
  3. Применить схему Горнера:
  аn аn-1 ... а0
α вn вn-1 =аn-1+ α вn ... 0

Симметрическое уравнение ax4+bx3=cx2+bx+a=0, a≠ 0

Алгоритмы решения:

1. х=0 – не корень уравнения.

2. Разделить Р(х)=0 на x2≠ 0; ax2+ a/x2+bx+b/x+c=0

4 x+ 1/x=t, at2+bt+c-2a=0

5 x2-xt1+1=0 и x2-xt2+1=0

Уравнения, содержащие знак модуля.
/f(x)/=/g(x)/ /f(x)/=g(x)

Алгоритмы решения:
1. f(x)= g(x) и f(x)= – g(x) 1. f(x)= g(x) и -f(x)= g(x)
2. .Объединение решений и есть корни уравнения 2. Отобрать из полученных решений те, при которых g(x)³0

Или

Алгоритмы решения (общий):

  1. Критические точки
  2. Область допустимых значений переменной на промежутках, на каждом их которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.
  3. Решить уравнения без знака модуля на каждом из найденных промежутков.
  4. Совокупность решений указанных промежутков составляет все решения уравнения.

2) Индивидуально-фронтальная работа

Один человек на обратной стороне доски, а остальные на индивидуальных карточках, определяют виды уравнений:

x2+/x-2/-10=0;
x4+x3-4x2+x+1=0;
x5+x3-x2+4x=4;
6x4+15x3+18x2+15x+3!=0
6x4+13x3-6x2-5x+2=0 (Самопроверка).

III. Решение уравнений (12 мин)

Каждый учащийся в паре подготовил уравнение определенного вида и решил его по соответствующему алгоритму. Пары обмениваются уравнениями, и один из них решает его у доски, а другой– за партой:

4x4+8x3-x2-8x-3=0;
x4+4x3-x2-16x-12=0;
5x4-36x3+62x2-36x+5=0

/x+5/=/10+x/
/x-3/+2/x+1/=4
6x4-13x3+12x2-13x+6=0

x3+2x2-14x-3=0
x3+4x2+4x+1=0
(Взаимопроверка)

IV. Самостоятельная дифференцированная работа (15 мин)

Каждый учащийся получает индивидуальную карточку с заданиями:

1) определить вид уравнения;
2) разделить многочлен на многочлен;
3) решить уравнение определенного вида по соответствующему алгоритму.

Например :

1) Определить вид уравнения
10x4 -27x3 -110x2-27x+10=0

2) разделить многочлен на многочлен
2x4-3x3-2x2+3x-5 на 2x2– x+1

3) решить уравнение определенного вида по соответствующему алгоритму
/ x-1/+/ x-3/+/ x-3/=0

V. Итог (2 мин)

Каждый учащийся продолжает фразы: Я знаю...; Я умею..., исходя из индивидуальных знаний, умений и навыков, полученных при изучении данного материала.