Комбинированный урок математики "Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла"

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (569 кБ)

Тип урока: комбинированный.

Цель урока:

  • закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;
  • познакомиться с понятием плоской фигуры;
  • научиться вычислять площадь плоских фигур;
  • способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при построении чертежей;
  • воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.

Структура урока:

  1. Организационный момент.
  2. Повторение ранее изученного материала.
  3. Изучение нового материала.
  4. Закрепление изученного материала.
  5. Подведение итога урока.
  6. Постановка домашнего задания.

Ход урока

I. Организационный момент

Приветствие класса. Сообщение учащимся целей урока.

II. Повторение ранее изученного материала

  • На прошлом уроке мы познакомились с понятием криволинейной трапеции и научились вычислять площадь этой фигуры. Давайте вспомним, какая фигура называется криволинейной трапецией?
  • Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью ОХ, прямыми x = a, x = b (a < b) и графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [a; b] знак функцией y = f(x).
  • Какую формулу можно использовать для вычислений площади криволинейной трапеции?
  • Формулу Ньютона-Лейбница.
  • Формулу вывели английский физик Исаака Ньютона (1643–1727) и немецкий философ Готфрида Лейбница (1646–1716). И это не удивительно, ведь математика – язык, на котором говорит сама природа.
  • Для того чтобы вспомнить основные моменты ранее изученного материала, выполним тест по теме: «Первообразная. Площадь криволинейной трапеции» (Приложение 1). (Для применения теста, ознакомьтесь, пожалуйста, с инструкцией.)

III. Изучение нового материала

Тема нашего урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла». (Слайд 1)

  • Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (Слайд 2)
  • Криволинейная трапеция.
  • Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура криволинейной трапецией?
  • На рисунке представлена плоская фигура. Рассмотрим ее более подробно. (Слайд 3)
  • Плоская фигура - это фигура ограниченная прямыми x = a, x = b и графиками непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [a; b] выполняется неравенство g(x)  f(x).
  • Как можно вычислить площадь этой фигуры?

(Слайд 4)

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми x = a, x = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для всех х из отрезка [a; b]выполняется неравенство g(x)  f(x), вычисляется по формуле:

Рассмотрим, как при решении практических заданий используется эта формула.

(Слайд 5)

Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2.

Решение: Построим на координатной плоскости графики функций y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2. Заштрихуем площадь фигуры, площадь которой надо найти.

Воспользовавшись формулой , получим

Ответ: S = 2.

(Слайд 6)

Пример 2: Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямойy = x – 2 и параболой y = x2 – 4x + 2.

Решение:

Построим прямую y = x – 2 по точкам, например (2; 0) и (0; -2).

Для построения параболы найдем координаты вершины по формулам ; yв = y(xв). Имеем:

;.

Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2). Возьмем пару дополнительных точек, например (0; 2), (4; 2) и построим график данной квадратичной функции.

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и параболы, для чего решим уравнение

х2 – 4х + 2 = х – 2

Находим последовательно: х2 – 5х + 4 = 0;

х1 = 1; х2 = 4.

Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями y = x2 – 4x + 2 (снизу) и y = x – 2 (сверху). С боков эта фигура ограничена прямыми х = 1 и х = 4.

(Слайд 7)

Для вычисления площади фигуры можно применить изученную сегодня формулу. Тогда площадь данной фигуры:

Ответ: S = 4,5.

IV. Закрепление изученного материала

Задания решаются самостоятельно с проверкой у доски.

(Слайд 8)

Задание 1: Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми:

а) y = x, y = -0,5x + 5, x = -1, x = 3;
б) y = 1 – x, y = 3 – 2x, x = 0.

(Слайд 9)

Задание 2: Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

а) y = 1 – x2, y = -x – 1;
б) y = x2 – 3x + 2, y = x – 1;
в) y = x2 + 2x-3, y = -x2 + 2x +5;
г) y = cos x, y = -x, x = 0, x = ;
д) y = sin 2x, y = x - , x = 0.

V. Подведение итога урока

Что сегодня изучили на уроке?

Чем отличается плоская фигура от криволинейной трапеции?

Как вычисляется площадь плоской фигуры?

Сформулируйте основные шаги вычисления площади криволинейной трапеции и плоской фигуры.

VI. Постановка домашнего задания

(Слайд 10)

Домашнее задание:

Вычислите (предварительно сделав рисунок) площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y = x3, y = 8, y = 1;
б) y = 4x – x2, y = 4 – x;
в) y = x2 – 2x + 2, y = 2+ 6x – x2;
г) y = sin x, y = , .

Спасибо за урок! До свидания.