В школе №962 г. Москвы прошел эксперимент по раннему введению геометрии в курсе математики 5-6-х классов, идея которого принадлежит доктору педагогических наук, профессору МГОПУ Левитасу Г.Г. Под его руководством создана и опробована программа этого курса.
Курс рассчитан на преподавание геометрии, начиная с 5 класса. Он делится на две части:
1) Пропедевтическое обучение геометрии в 5-6 классах, имеющее целью подготовить учащихся к восприятию систематического курса геометрии, в котором сделана попытка учесть историю математики, открывшей много фактов задолго до того, когда была осмыслена необходимость строгих доказательств;
2) Систематический курс геометрии, начиная с 7 класса, в котором планиметрия и стереометрия изучаются совместно.
Традиционный курс геометрии начинается с 7 класса, причем изучается только планиметрия, когда уже поздно развивать у детей пространственное воображение, так как оно формируется в возрасте 8-12 лет, а с геометрическими фигурами ребенок знакомится уже в первые 5-6 лет своей жизни. Геометрический опыт шестилетнего ребенка необыкновенно многогранен: он многое знает, многое умеет делать руками, ему доставляет удовольствие занятие играми, развивающими пространственное воображение (рисование, конструирование, лепка). Придя в школу, ребенок вынужден забыть о своем интересе к геометрии.
Основной целью обучения геометрии в экспериментальном курсе является желание показать красоту обычных вещей, научить ребят внимательно смотреть вокруг, смотреть и думать, думать и делать выводы. Учащиеся на практике должны увидеть необходимость изучения геометрии. Геометрическое мышление в своей основе является разновидностью пространственно-образного мышления. Отсюда важность геометрии в интеллектуальном развитии ребенка. Геометрия – самый гуманитарный из всех негуманитарных предметов. Занятие геометрией способствует развитию интуиции, воображения и других качеств, лежащих в основе любого творческого процесса. Поэтому задача курса – заинтересовать, привлечь внимание всех школьников. Ведущей методической линией является организация разнообразной практической деятельности: наблюдение, экспериментирование, конструирование.
Изучение курса начинается с решения задач на измерение отрезков, углов, площадей, объектов. Для нахождения площадей сначала используется палетка. Формулы появляются позднее. Опытным путем учащиеся приходят к выводу, что для вычисления, например, объема призмы площадь основания надо умножить на высоту. Ребятам предлагается склеить куб и вычислить площадь его поверхности и объем. Сразу встает вопрос о единицах измерения. Склеиваем кубы с объемом 1 куб. дм (1 литр).
Потом происходит знакомство с прямоугольным параллелепипедом, нахождение его объема, вычисление площади поверхности. Но ведь в жизни люди часто встречаются с призмами, в основании которых лежат треугольники, четырехугольники, произвольные многоугольники. Значит, нужно вычислять площади всех фигур, чтобы можно было узнать, какое количество материала было потрачено на изготовление той или иной фигуры, какой она будет иметь объем. Поэтому нужно изучить треугольники, параллелограммы, трапеции, многогранники и получить формулы для вычисления их площадей. При этом вводится понятие высоты - это “рост” треугольника, параллелограмма, трапеции. Высота призмы – тоже “рост” (призмы рассматриваются только прямые).
Далее встает вопрос об изготовлении емкости, объем которой в 3 раза меньше, чем объем
любой из предложенных призм. Ребята предлагают разделить высоту на три части и взять одну такую призмочку. Конечно, ее объем будет в три раза меньше, чем у первоначальной.
Некоторые ребята предлагают разрезать на три части основание, а высоту оставить без изменения, что тоже правильно. В этот момент учитель показывает пирамиду с таким же, как у предложенной призмы основанием и такой же высотой, дает ее определение, с помощью “ростомера” показывает высоту пирамиды и говорит, что ее объем в три раза меньше объема призмы, предлагая убедиться в этом практическим путем (либо переливанием жидкости, либо пересыпанием крупы). Так получается формула для вычисления объема пирамиды. Точно так же выводятся формулы в 6 классе при изучении объемов конуса и цилиндра.
При изучении темы “Подобие” в 6 классе ребятам предлагается вспомнить “Приключение Гулливера в стране лилипутов” Джонатана Свифта. В 12 раз отличаются размеры между одноименными точками у Гулливера и лилипута (расстояние между глазами, между мочками ушей и т.д.). С подобием каждый человек сталкивается очень часто в повседневной жизни: фотографии, географические карты разного масштаба, чертежи. Изучение подобия дает возможность говорить про усеченную пирамиду и усеченный конус, их объемы и площадь поверхности.
Последний вопрос курса “Преобразование плоскости” очень нравится ребятам, так как дает возможность проявить свою фантазию: после изучения параллельного переноса, центральной и осевой симметрии они придумывают бордюры и создают орнаменты необыкновенной красоты.
Экспериментальная программа по математике 5 – 6 классах содержит два отдельных курса.
I. Курс “Математика” - 4 часа в неделю в 5 классе, 5 часов в неделю в 6 классе. Математика преподается по действующим учебникам: “Математика 5 класс”, “Математика 6 класс” (под редакцией Н.Я. Виленкина) – и содержит традиционные вопросы.
В 5 классе: 1) натуральные числа; 2) десятичные дроби; 3) уравнения; 4) обыкновенные дроби; 5) проценты. Понятие десятичных дробей вводится нетрадиционно, начиная с сентября месяца. Действие с натуральными числами повторяются параллельно. Раннее введение десятичных дробей дает возможность лучше отработать навыки выполнения действий с десятичными дробями, являющиеся основным вопросом программы математики 5 класса.
В 6 классе изучаются: 1)обыкновенные дроби 2) рациональные числа и действия над ними.
II. Курс “Введение в геометрию” - 2 часа в неделю в 5 классе, 1 час в неделю в 6 классе. Курс практический, логичный, содержит только три типа задач: на построение, на измерение, на вычисление. Задачи на доказательство будут рассматриваться в систематическом курсе геометрии, начиная с 7 класса.
В 5 классе учащиеся знакомятся с формулами для вычисления площадей треугольника, параллелограмма, трапеции. Площади квадрата и прямоугольника они вычисляли в начальной школе. Кроме этого, они сначала склеят модели прямоугольного параллелепипеда, куба, призм и пирамид с различными основаниями, а потом вычислят площадь их поверхности. Учащиеся научатся вычислять объемы фигур, познакомившись с формулами для вычисления объема многогранников. Традиционные вопросы: прямая, отрезок, луч, углы и их виды- изучаются в самом начале курса геометрии.
В курсе 6 класса предлагается знакомство с формулами для вычисления длины окружности и площади круга, нахождения площади поверхности и объемов “круглых тел”: цилиндра, конуса, шара; а также подобные фигуры, их свойства и преобразованиями плоскости.
Таким образом, раннее введение курса геометрии дает возможность выработать графическую культуру учащихся, развить пространственное мышление, не давая укорениться двумерным стереотипам, опасность возникновения которых существует при ведении традиционного курса геометрии.
Об изучении геометрии в 7 – 9 классах.
В курсе геометрии 7 – 9 классов продолжена идея совместного изучения планиметрии и стереометрии. Планиметрия изучается по учебнику А.С. Атанасяна “Геометрия 7-9”, а в тех темах, которые можно применить при решении задач с объемными фигурами, эти задачи обязательно предлагаются. Точно так же, как в экспериментальном курсе геометрии 5 – 6 классов, при решении задач в 7 – 9 классах используются модели объемных фигур (каркасные, стеклянные). Формулы для вычисления площадей и объемов ребятам уже знакомы, но они обязательно записываются на доске. Обоснование и доказательство сложных моментов, связанных с применением понятий параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также угла между прямой и плоскостью – отсутствуют. Решение всех задач показывается на моделях и дается на наглядно-интуитивном уровне. Примерное планирование уроков математики и геометрии в 5 – 6 классах помещено в “Приложении”.
Методические рекомендации для 5 класса по изучению темы “Пирамида и ее объем”
Целью изучения этой темы является знакомство с пирамидой, выведение формулы для вычисления ее объема, умение применять формулу при решении задач.
На первом уроке проводится беседа с классом.
На предыдущих уроках мы познакомились с фигурами, объем которых был равен одному литру и половине литра.
Как называется эта фигура?
Ответ: призмы.
Вспомните, пожалуйста, как из литровой емкости можно получить пол-литровую.
Ответ:
1) разрезать высоту пол-литровой призмы пополам, основание оставить без изменения и взять только одну часть. Это и будет объем в пол-литра.
2) разделить основание пополам, а высоту оставить без изменений. Эта призма тоже будет иметь объем в пол-литра.
Ребята, а теперь подумайте, как можно получить фигуру, объем которой равен 1/3 литра.
Ответ:
1) разрезать высоту на 3 равные части, основание оставить без изменений. Взять одну такую призму.
2) разрезать на 3 равные части основание, а высоту оставить без изменений. Взять одну такую часть.
Но коробку, вместимостью 1/3 литра, можно сделать совсем иначе – в форме не призмы, а пирамиды.
Пирамида – многогранник, у нее одно основание. Расстояние от вершины пирамиды до основания называют ее высотой. Все грани, кроме основания называются боковыми гранями.
Изображаем пирамиду в тетрадях.
На столе стоят прямые и наклонные призмы, пирамиды, другие многогранники.
Задание 1. Выбери из предложенных фигур пирамиды и найди их высоту.
Учитель показывает, как практически измерить высоту (“рост”) пирамиды.
Задание 2. На рисунке изображены пирамиды. Какую форму имеют их основания и какую – боковые грани?
Пирамиды известны людям давно. В Египте сохранились с древних времен величественные сооружения, имеющие форму пирамиды. Это усыпальницы египетских фараонов. Они носят название пирамид Хеопса, потому что этот фараон их построил.
В основании пирамиды лежит квадрат со стороной 233 м, высота пирамиды 146,5 м. Наклон боковых граней, все ходы внутри связаны с различными астрономическими и математическими законами. Это говорит об очень высоком развитии науки в Египте. В то время не было подъемных кранов, и говорят, что пирамиды сначала имели ступени на боковых гранях, которые потом стесали. При строительстве надо было решить очень важную задачу: сколько камня пойдет для строительства, т.е. найти объем камня, который потребуется. Древние египтяне уже умели вычислять объем пирамиды. Они находили объем призмы с таким же основанием и делили на 3. Эта формула верна и сейчас.
Убедимся в этом практически. Для этого возьмем модели призмы и пирамиды, имеющие одинаковое основание и высоту. Пересыпая зерно или переливая воду, определяем, что в объеме призмы уместилось три объема пирамиды. Получаем формулу:
Vпир. = S * H / 3,
где V– объем, S – площадь основания, Н – высота пирамиды.
Задание 3. Вычислить объем пирамиды с площадью основания 4 кв. см и высотой 6 см.
Решение: V = 4 * 6/ 3 = 8 (куб. см)
Задание 4. Определите объем U пирамиды, у которой S – площадь основания, Н – высота, если
а) S = 48 кв.дм, Н = 5 дм;
б) S = 500 кв.см; Н = 6 дм
Домашнее задание. Вычислите объем пирамиды Хеопса. Ответ округлите до сотен тысяч.
Второй урок начать с проверки домашнего задания. Объем пирамиды Хеопса:
V = 2332 * 146,5 = 2 651 112,8 (куб.м) = 2 700 000 (куб.м).
Решить задачи:
1) Объем прямой призмы равен 150 куб.м. Чему равен объем пирамиды с таким же основанием и такой же высотой, как у этой призмы?
2) Объем пирамиды равен 63 куб.м. Чему равен объем прямой призмы с такой же высотой и таким же основанием, как у этой пирамиды?
3) Объем пирамиды равен 48 куб.м, а высота равна 3 см. Чему равна площадь основания этой пирамиды?
4) На рисунке изображены прямая призма и пирамида и указаны их размеры. Вычисли объем каждой из них.
5) Вычислить объем пирамиды с высотой 12 см, если в основании лежит:
а) прямоугольник со сторонами 5 см и 6 см;
б) треугольник с основание 6 см и высотой 4 см;
в) ромб с диагоналями 9 см и 4 см.
Формулы для вычисления площади основания учитель записывает на доске.
Закончить урок можно практической работой на вычисление объема правильной четырехугольной пирамиды по готовой модели (желательно раздать одинаковые модели).
Домашнее задание. Склеить пирамиду по вариантам:
- I вариант: все грани – правильные треугольники со стороной 6 см.
- II вариант: четырехугольную пирамиду, в основании которой лежит квадрат со стороной 6 см, а боковые грани – правильные треугольники.
Учитель обязательно показывает развертку пирамиды учащимся, объясняя, как ее сделать и как потом склеить нужную фигуру.
На третьем уроке продолжается решение задач на вычисление объема пирамиды.
Вычислить объем пирамиды с высотой 15 см, если:
а) в основании лежит треугольник со стороной 7 см и высотой 6 см;
б) параллелограмм со стороной 9 см и высотой, проведенной к ней и равной 6 см;
в) трапеция с основанием 8 см и 10 см и высотой трапеции 5 см.
Формулы для вычисления площади основания записаны на доске. Сильным учащимся предложить сделать чертежи к задачам. Потом показать эти чертежи всему классу.
Закончить урок практической работой на вычисление объема треугольной пирамиды по готовым моделям. Сильным учащимся предложить вычислить, сколько материала пошло на изготовление этой модели.
После этого в классе обсудить вопрос о вычислении площади поверхности тетраэдра.
Дома ребята вычисляют площадь поверхности и объем своих моделей.
Литература.
1. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия 5 – 6 классы. М., 2001
2. Левитас Г.Г. Геометрия на плоскости. Часть I. М., 1996
3. Левитас Г.Г. Геометрия на плоскости. Часть II. М., 1996
4. Левитас Г.Г. Геометрия на плоскости. Часть III. М., 1996
5. Левитас Г.Г. “Введение в геометрию”. Математика в школе. М., 1990, № 6
6. Атанасян А.С. “Геометрия 10-11”. М., 2008.
7. Виленкин Н.Я. “Математика 5 класс”. М.2010г.
8. Виленкин Н.Я. “Математика. 6 класс”. М.2010г. 9.Левитас Г.Г. Занимательная математика. М. 2002.
10.Тапилина Л.А. “Математика 5класс поурочные планы”. Волгоград, изд. “Учитель”, 2003.
11.Тапилина Л.А. “Математика 6класс поурочные планы”. Волгоград, изд. “Учитель”, 2003.
12. Выговская В.В. “Поурочные разработки по математике 5класс”. М., “Вако”, 2008.
13. Выговская В.В. “Поурочные разработки по математике 6класс”. М., “Вако”, 2008.
14. Под ред. Соловейчик И.Л.“Я иду на урок математики 5класс”, М., “Первое сентября”, 2002
15. Под ред. Соловейчик И.Л.“Я иду на урок математики 6класс”, М., “Первое сентября”, 2002.