Тема урока: "Логарифмическая функция, ее свойства и график"

Разделы: Математика

Тип урока: лекция; метод проблемного изложения.

Учебная задача: “Открыть” совместно с обучающимися новый вид функции – логарифмическую функцию, как функцию, обратную к показательной; выделить её основные свойства, используя свойства взаимно обратных функций.

Диагностируемые цели:

В результате обучающийся имеет следующие компетенции:

  • Определение логарифмической функции.
  • Что логарифмическая и показательная функции являются взаимно обратными.
  • Как из графика показательной функции получить график логарифмической функции.
  • Строить график логарифмической функции, зная график взаимно обратной ей показательной функции.
  • Проверять свойства логарифмической функции по ее графику.
  • Выделять свойства логарифмической функции, используя свойства обратной ей показательной функции.
  • Строить график логарифмической функции, зная график взаимно обратной ей показательной функции.
  • Значимость изучения логарифмической функции при описании явлений природы.

Свойства данной функции зависят от основания в сравнении его с единицей

Ход урока

1. Приветствие.

  • опрос эмоционального состояния обучающихся (если у вас плохое настроение, вы садитесь на корточки, если среднее – на стул, если высокое – встаете), таким образом, они смотрят на окружающих и видят настроение друг друга.

2. Опрос домашнего задания.

  • 2 учащихся за доской восстанавливают домашние задачи;
  • 3 учащихся на первых партах отвечают на вопросы (что называется показательной функцией, свойства показательной функции, график показательной функции – возрастающей и убывающей);
  • с остальным классом – вспоминаются свойства логарифмов.

3. Мотивационно-ориентировочная часть.

Сначала обучающимся раздается незаполненная таблица.

– Какая функция называется показательной функцией?

(Показательной функцией называется функция y=ax, где а – заданное число, a>0, a1).

Заносим в первый столбец таблицы.

– Какими свойствами обладает показательная функция?

(Область определения функции, множество значений функции, монотонность).

– Запишите свойства показательной функции в таблицу.

Учащиеся заполняют первый столбец таблицы.

Показательная функция. Свойства показательной функции.  
Показательной функцией называется функция y=ax, где а – заданное число, a>0, a1
  1. О.О.Ф. – множество R.
  2. М.З.Ф. –множество всех положительных чисел.
  3. Показательная функция y=ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a>1, и убывающей, если 0<a<1.
  

– Схематически в тетради изобразите графики функций y=ax при a>1, y=ax при 0<a<1.

y = ax, 0 < a < 1

y = ax, a > 1

– Давайте проверим, обратима ли функция y=ax. Для этого сформулируйте определение обратимой функции.

(Если функция f(x) принимает каждое своё значение только при одном значении x, то эту функцию называют обратимой.)

– Выясните, обратима ли функция y=ax.

(Функция у = a обратима, так как каждое значение y принимается при единственном значении аргумента. Это значение можно найти, решая уравнение у = a относительно x, тогда получим x=loga y. В этом равенстве поменяем местами x и y: y=loga x. Функции у = a и y=loga x являются взаимно обратными).

– Мы не знаем, является y=loga x функцией или нет. Проверим, является ли y=loga x функцией, то есть: для любого ли x существует единственное y.

loga a=1, loga a=, loga a=-1, loga a0=0

Следовательно, y=loga x является функцией, так как какое бы x мы не взяли, для него существует единственное y.

– Таким образом, мы получили функцию, давайте исследуем эту функцию?

Учитель формулирует определение логарифмической функции:

Функцию y = logax, (a > 0, a 1) называют логарифмической функцией.

Ученики начинают заполнять второй столбец таблицы.

– Назовите свойства взаимно обратных функций.

(1. Область определения обратной функции совпадает со множеством значений исходной функции, а множество значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции.
2. Если функция y=f(x) возрастает, то обратная к ней функция также возрастает, если функция y=f(x) убывает, то обратная к ней функция убывает.
3. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой y=x).

Далее идёт заполнение таблицы на основании свойств взаимно обратных функций.

у = a

Показательной функцией называется функция y=ax, где а – заданное число, a>0, a1

y=loga x

Функцию y = logax, (a > 0, a 1) называют логарифмической функцией.
1. О.О.Ф. xR

2. М.З.Ф y>0

График функции у = ax пересекает ось Оу в точке (0,1)

3.При каких значениях a показательная функция у = ax, где a>0, a1, возрастает (убывает)?

При a>1 функция у = ax, где a>0, a1 возрастает; если 0<a<1, то функция у = ax убывает.

 1. О.О.Ф. x>0

2. М.З.Ф. yR

График функции y=loga x пересекает ось Ох в точке (1,0)

3.При каких значениях a логарифмическая функция y=loga x, где x>0, a>0, a1, возрастает (убывает)?

При a>1 функция y=loga x возрастает; при 0<a<1 убывает.

Уже можно высказать некоторые идеи о расположении графика логарифмической функции.

при a>1 при 0<a<1

loga a1=1, loga a2=2 loga a-2=-2

Выясним, при каких значениях x логарифмическая функция принимает положительные и отрицательные значения, то есть

x=? y>0 (y<0). Для этого воспользуемся определением логарифма, тогда x=ay.

если a>1, y>0, то аy>1, то есть x>1;

если 0<a<1, y>0, то 0<ay<1, то есть 0<x<1;

если a>1, y<0, то 0<ay<1, то есть 0<x<1;

если 0<a<1 y<0, то аy>1, то есть x>1;

Итак, получаем:

IMG2

– Из третьего свойства взаимно обратных функций следует, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x. Тогда, зная как выглядит график показательной функции, давайте построим график логарифмической функции.

На интерактивной доске проверяем правильность графиков.

Задание:

В одной координатной плоскости построить графики следующих функций:
g(x) = ln x, h(x) = log5x, f(x)=lg x. Сделайте вывод о расположении графиков функций относительно осей координат в зависимости от основания логарифмической функции.

Ученики строят графики в тетради, а один на доске.

Вывод. При a > 1 чем больше основание логарифмической функции, тем ближе к осям координат располагается график логарифмической функции.

На интерактивной доске проверяем правильность графиков.

Задание: В одной координатной плоскости построить графики следующих логарифмических функций: f(x) = log0,1x, g(x) =  log0,3x, h(x) = log0,5x.

Вывод. При 0 < a < 1 чем больше основание a логарифмической функции, тем дальше от осей координат располагается график логарифмической функции.

На интерактивной доске проверяем правильность графиков.

Рефлексивно-оценочный этап.

– Что нового вы узнали на уроке?

(Новый вид функции – логарифмическая функция)

– Сформулируйте определение логарифмической функции.

(Функцию y = logax, (a > 0, a 1) называют логарифмической функцией)

– Назовите свойства логарифмической функции.

(Область определения функции, множество значений функции, монотонность, знакопостоянства)

– Какой факт нам помог установить свойства логарифмической функции?

(Что логарифмическая и показательная функция являются взаимно обратными).

– Чем мы будем заниматься на следующем уроке?

(Мы будем решать задачи на отработку изученного материала)

– Какие именно?

(Находить область определение функции, множество значений функции, определять характер монотонности, решать логарифмические уравнения)

Домашнее задние.

Задание: Какое значение аргумента x является допустимым для следующих функций (устно)

Ответы

Подведение итогов.

Выставление оценок, обсуждение ошибок.