О пользе сравнения в обучении математике говорилось неоднократно. В учебниках математики имеются упражнения, в которых учащиеся должны выполнить сравнение. Тем самым предполагается, что они в какой-то мере должны овладеть умением сравнивать. И всё же при его использовании они испытывают большие трудности и допускают многочисленные ошибки.
Однако основная причина затруднений состоит в другом: обучение сравнению сразу же пытаются применять в целом, нерасчлененно, без предварительной отработки входящих в него операций. Между тем, сравнение имеет сложный операционный состав, и простого показа использования этого приёма на каком-либо образце недостаточно для успешного самостоятельного применения его учащимися. Очевидно, чтобы дети научились умножать трёхзначные числа, предварительно следует научить их умножать однозначные числа. То же самое происходит и при использовании сравнения: необходимо предварительно научить учащихся выполнять каждую входящую в него операцию, а затем использовать этот приём в целом путём выполнения соответствующих упражнений. Иными словами, формирование у учащихся приёма сравнения должно стать специальной целью обучения. Ниже описываются основные положения соответствующей методики обучения.
Прежде всего, необходимо уточнить некоторые исходные положения.
Сравнение – приём интеллектуальной деятельности, направленной на выявление сходного и различного в данных объектах.
Сравнение может ограничиваться лишь фиксацией сходства и (или) различия, т.е. осуществляться на уровне непосредственного восприятия данных объектов. Такое сравнение мы называем неполным. Сравнение может заканчиваться определёнными выводами – это полное сравнение. Сравнение по сходству обычно называют сопоставлением, по различию – противопоставлением.
Сравнение проводится с соблюдением определенных требований:
- оно должно быть целенаправленным;
- сравниваться должны однородные объекты (предметы, явления, способы деятельности и т.д.);
- сравнение осуществляется по существенным признакам сравниваемых объектов. В различных случаях такие признаки у одних и тех же объектов могут быть различными. Это диктуется условиями, в которых приходится сравнивать, целями сравнения;
- для сравнения выбирается определённое основание. Этим термином обозначают доминирующий, ведущий признак (или признаки), выбираемый для сравнения, это тот признак, относительно которого сравниваются данные объекты (форма предметов, операционный состав действий, содержание изучаемых правил, виды математических действий с данными выражениями и т.д.). Образно говоря, основание сравнения – это магистральная линия, по которой идут при сравнении. Значит, необходимо различать основание сравнения и сравниваемые признаки объектов. В отдельных случаях они могут совпадать;
- сравнение проводится от начала до конца по одному и тому же основанию (разумеется, возможно, сравнение одних и тех же объектов по разным основаниям);
- полное сравнение заканчивается выводом, в котором может быть зафиксировано отношение между сравниваемыми объектами (быть больше, меньше, равным, быть частным случаем чего-то более общего, широкого и т.д.), введено новое понятие, сформулировано новое правило и т.п.;
- из характеристики приёма сравнения и правил его применения следует, что в состав такого приёма входят следующие основные операции:
- выделение признаков предметов;
- расчленение выделенных признаков на существенные и несущественные в данной ситуации;
- выделение признаков, являющихся основанием сравнения;
- нахождение сходных и различных признаков объектов, т.е. осуществление неполного сравнения;
- формулировка вывода из проведённого сравнения – осуществление полного сравнения.
Отсюда следуют некоторые методические выводы.
Обучение сравнению – длительный процесс. Его необходимо разделить на два этапа – подготовительный и основной.
На первом этапе отрабатываются операции, входящие в приём сравнения, на втором – знакомство с приёмом, правилами его использования, упражнения на самостоятельное и осознанное применение учащимися в варьирующих условиях. Работа по усвоению приёма сравнения ведется параллельно с изучением программного учебного материала.
Критериями овладения приёмом могут служить объём сравнения (количество сравниваемых признаков), владение правилами сравнения, глубина сделанного вывода, самостоятельное использование сравнения при изучении различного по содержанию учебного материала, в том числе в различных предметах. В начальных классах формирование у учащихся приёма сравнения не заканчивается, оно продолжается в более старшем возрасте на другом учебном материале.
Разберём на конкретных примерах, как лучше обучать в начальной школе сравнению. Эти примеры являются лишь иллюстрацией к высказываемым методическим положениям. По аналогии должны быть подобраны соответствующие упражнения в зависимости от содержания изучаемого материала.
Первый этап. Выделение признаков одного предмета. Признак предмета – это некоторая особенность предмета, то, что присуще данному предмету. Например, окно, дверь, балкон – признаки жилого дома. Учащимся даётся (показывается) какой-либо предмет и предлагается указать один признак, затем другой и т.д., переходя постепенно к рассказу обо всем, что заметили у данного предмета.
Примеры
- Дана запись 2 + 3 = 5. Какие признаки у этой записи можно выделить? (В ней есть числа 2, 3, 5, знаки +, =, число 2 – слагаемое, 3 – слагаемое, 5 – сумма, число 5 стоит справа от знака равенства и др.)
- Дано число 72. Выделите все признаки, которые вы заметили у этого числа (запись числа начинается цифрой 7, оканчивается цифрой 2, в этом числе 7 десятков, 2 единицы и т.д.).
- Запишите число по таким признакам: оно состоит из 4 десятков и 3 единиц, число единиц 4, а число десятков на 2 больше.
После того как учащиеся овладеют этой операцией, переходим к выделению общих Признаков двух и более предметов. Предлагаем выделить какой – либо признак одного предмета, затем посмотреть, есть ли такой же признак у другого предмета. Затем выделяем другой признак первого предмета и предлагаем установить, есть ли такой же признак у второго предмета и т.д.
Примеры
- Даны записи 6 + 3 и 6 – 3. Выделим в первой, из них какой-либо признак, например число 6. Замечаем, что этот признак имеется и во второй записи. Выделим число 3. Оно также имеется и в первой и во второй записях. Предлагаем найти в первой записи такой признак, которого нет во второй записи (знак +), и наоборот, такой признак во второй записи, которого нет в первой (знак -).
- Приведите примеры двух уравнений, которые имели бы два (три) общих признака, одно из них имело бы признак, которого не было бы во втором уравнении.
- Можно ли привести примеры таких уравнений, которые не имели бы одного общего признака? (Нельзя, в уравнении всегда имеются переменная и знак равенства).
Выделение существенных признаков предмета. Каждый предмет имеет существенные и несущественные признаки. Понятие существенный признак относительно: один и тот же признак в одних условиях выступает как существенный, в других – как несущественный. Например, масса спортсмена не имеет никакого значения при посещении кино, но она имеет существенное значение в некоторых видах спортивных состязаний. Такая особенность существенного признака вносит значительные трудности в методику в методику обучения. Для учащихся можно ограничиться разъяснением, что признаки предмета, от которых зависит правильность ответа на заданный вопрос или поставленное задание, называются существенными. (В первое время вместо этого термина можно употреблять слова главный, важный, и т.п.).
Примеры
1. Число 19 представьте в виде суммы двух слагаемых. Что существенно в этом задании? Здесь существенны следующие признаки:
- число должно изображаться в виде суммы;
- в этой сумме должно быть два слагаемых. В задании не говорится, какими должны быть два слагаемых, значит, это несущественный признак. Получаем: 19 = 2 + 17, 19 = 8 + 11, 19 = 15 + 4 и др. Эти ответы удовлетворяют требованию задачи.
2. Число 19 представьте в виде суммы разрядных слагаемых. Здесь существенными признаками будут сумма, разрядные слагаемые.
Ответ: 19 = 10 + 9
Из этих примеров видно, что существенность или несущественность признаков зависит от задания. Следовательно, приём варьирования должен быть положен в основу подбора соответствующих упражнений.
3. Сложение 7 + 7 + 7 + 7 замените умножением. Какие признаки данного примера существенны? (Наличие одинаковых слагаемых, которое повторяется несколько раз, число таких слагаемых)
Выделение сходных существенных признаков двух и более предметов. Нередко в обучении математике существенный признак должен быть обобщенным. Для того чтобы заметить это, он должен повторяться в разных объектах, которые целесообразно показывать одновременно.
Примеры
1. Замените числа суммой по образцу:
- = 20 + 8 15 = …+… 32 = …+…
- = 40 + 3 84 = …+… 56 = …+…
Какой существенный признак указан в условии задании? (Сумма двух слагаемых видно в образцах).
Какой существенный признак повторяется? (Одно слагаемое равно числу единиц данного числа, другое изображает число десятков данного числа. Или, короче, введено соответствующее понятие: сумма разрядных слагаемых).
2. Рассмотрите образцы:
- + 20 = (30 + 4) + 20 = (30 + 20) + 4 = 54
- + 2 = (30 + 4) + 2 = 30 + (4 + 2) = 36
Какие существенные признаки имеются в обоих примерах?
(Первое слагаемое представлено в виде суммы разрядных слагаемых, полученные слагаемые объединены по два, находится сумма слагаемых, взятых в скобки, вычисляется конечный результат). Какие существенные признаки имеются у первого примера и отсутствуют у второго? (Объединены числа, изображающие десятки). Какие существенные признаки имеются у второго примера и отсутствуют у первого? (Объединены числа – единицы данных слагаемых). Назовите их различные существенные признаки.
Второй этап – обучение приёму сравнения. Разъясняем учащимся, что во многих случаях получить новые знания можно путём сравнения данных предметов. Сравнивать – значит установить сходственные и различные существенные признаки этих предметов. Чтобы провести сравнение , надо прежде всего установить, что сравнивается в данных предметах (по какому признаку они сравниваются), затем взять какой-либо существенный признак одного предмета и найти сходный признак у другого предмета, потом взять другой существенный признак первого предмета и выяснить, имеется ли такой же признак у второго предмета и т.д., т.е. выяснить, в чем сходны и различны данные предметы, и сделать определенный вывод, если это возможно (и требуется). Такая инструкция вооружает планом проведения, т.е. является ориентировочной основой выполнения этого действия.
Примеры
1. Сравните решения следующих примеров:
48 + 21= (40 + 8) + (20 + 1) = (40 + 20) + (8 + 1) = 69
27 + 32 =(20 + 7) + (30 + 2) = (20 + 30) + (7 + 2) = 59
54 + 13 = (50 + 4) +(10 + 3) = (50 + 10) + (4 + 3) = 67
Что здесь будем сравнивать? (Способы решения).
Какие признаки сходны в примерах, существенны для способа решения? (Складываются двузначные числа). Какие признаки существенны в решении первого примера? (Представление данных чисел в виде суммы разрядных слагаемых, сложение отдельно десятков и единиц). Имеются ли сходные признаки в решении других примеров? (Да)
Выделите их. Что мы узнали путём сравнения? (Как складывать двузначные числа: сначала представляем их в виде суммы разрядных слагаемых, отдельно складываем десятки и единицы, а затем складываем полученные суммы).
2. Сравните решения примеров:
5*14 = 5* (10 + 4) = 5*10 + 5*4 = 50 + 20 = 70
7*22 = 7* (20 + 2) = 7*20 + 7*2 = 140 + 14 = 154
6*47 = 6* (40 + 7) = 6*40 + 6*7 = 240 + 42 = 282
Обращаем внимание на то, что в заданных примерах существенными являются признаки: действие умножения, первый множитель однозначное число, второй двузначное, конкретное значение взятых чисел несущественно. Сравниваем по способам решения (основание сравнения). Сходными существенными признаками являются: представление данного двузначного числа в виде суммы разрядных слагаемых, сведение данного задания к умножению однозначного числа на сумму двух чисел. В результате сравнения узнаем способ умножения однозначного числа на двузначное.
Постепенно следует побуждать учащихся к самостоятельному использованию сравнения. На примерах показываем, что за основание сравнения обычно берут способ решения, состав данных чисел и т.п. Нередко основание сравнения указывается в задании, как это было в предыдущих примерах. Если же этого нет, то обращаем внимание учащихся на выбор признака, по которому следует сравнить данные предметы. Это всегда существенный признак, общий для сравниваемых предметов.
Например:
1. Какие группы чисел можно выделить из чисел 283, 462, 785, 1 784, 187, 326, 9 767, 4 896, 218?
Группировка чисел возможна лишь на основе их сравнения. Значит, необходимо выделить признак сравнения: по количеству цифр в числе – трёхзначные и четырёхзначные, по количеству цифр в числе и чётности последней цифры числа – трёхзначные 326. 218, четырёхзначные 4 562, 1 784. 4 896 и т.д.
Практически при выполнении сравнения встречаются случаи трёх видов: основание сравнение указывается явно (например, сравнивать значения данных выражений), задаётся неявно (поставить знак >, < , = между данными выражениями и т.п.), не указывается вообще. Последний случай наиболее труден в обучении, но зато несёт в себе большую развивающую нагрузку.
Систематическое использование приёма сравнения с соблюдением требований к его применению и предварительным формированием у учащихся входящих в него операций – залог успеха овладения этим приёмом.
Литература
- Бескова И.А. Как возможно творческое мышление. - М., 1993 г.
- Психодиагностика и коррекция детей с нарушениями и отклонениями развития /Сост. И общая редакция В.М.Астапова, Ю.В.Микадзе, -СПб.: Питер, 2001 г.
- Гапеев А.Д., Лифенцова Н.И., Ялпаева Н.В. Основы коррекционной педагогики. Под редакцией В.А.Сластенина.
- Стребелева Е.А., “Формирование мышления у детей с отклонениями в развитии”, М., “Владос”, 2001 г.
- Николаева С.П. Дифференцированный подход к учащимся ыв учебно-воспитательной работе в школе для детей с нарушениями опорно-двигательного аппарата. Некоторые вопросы обучения и воспитания учащихся. - М., 1975.
- Чуркина М.Л. Особенности преподавания математики детям ЗПР (из опыта работы). Дефектология. -1998.