Тема урока: Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и способы их решений.
Тип урока: комбинированный.
Оборудование урока: линейка, угольник, учебник.
Эпиграф: «Полезнее решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач одним способом».
Цели урока:
- Образовательные: научить учащихся различным способам решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.
- Развивающие: продолжить работу по развитию у учащихся интереса к предмету, творческого мышления, вычислительных и исследовательских навыков и способностей.
- Воспитательные: формировать у учащихся высокие нравственные качества: упорство и целеустремленность в труде, настойчивость в поисках новых рациональных и изящных решений любой задачи.
ХОД УРОКА
Слово учителя: На прошлом уроке вы получили задание на дом:
1) Условие задачи, по которым должны были вы
составить систему уравнений.
2) Эту систему необходимо решить известными вам
способами.
Перейдем непосредственно к сути урока. Повторим
способы решения двух линейных уравнений с двумя
неизвестными.
Приглашается к доске первый ученик, который
решил задачу (систему) по крайней мере, одним
способом.
Ученик, согласно данным и условий задачи, строит
на доске прямоугольник, изображающий участок
АВСД и по памяти сообщает: «Прямоугольный
участок земли огорожен изгородью длиной 26 м.
Длина прямоугольника больше его ширины на 5 м.
Необходимо найти длины сторон участка и его
площадь».
А В
у |
С х Д
Ученик. Наносим данные на чертеж.
Длины сторон прямоугольника обозначаем через х и
у. Анализируем. Чтобы ответить на вопрос задачи,
учитывая Р = 26, нужно узнать длины сторон
прямоугольника , т.е. х и у. Тогда s = x * y.
Значит х – ? у – ? – это главные неизвестные.
Приступим к составлению и решению системы.
Применив формулу для вычисления периметра
прямоугольника, составим систему двух уравнений
с этими неизвестными х и у
Решим ее.
Область допустимых значений неизвестных в
системе будет х > 0; y > 0
К решению системы приглашается новый ученик. Он сообщает, что будет решать систему способом подстановки.
Способ 1.
Выразив х через у из второго уравнения, получим
х = у + 5.Подставим это значение х в первое
уравнение системы:
2(у + 5 + у) = 26.Решим полученное уравнение 2у + 5 = 13; 2у =
13 – 5; 2у = 8; у = 4.
Подставим найденное значение у в формулу х = у + 5:
х = 4 + 5 = 9.
S = 9 * 4 = 36
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9м и 4м. S = 36 м2.
Способ 2.
Приглашается следующий ученик, пожелавший решить систему другим способом. Он сообщает, что будет решать систему способом сложения
Сложив уравнения, придем к исключению переменной у. Имеем
2х = 18; т.е.
х = 9
Подставим найденное значение х во второе уравнение системы, т.е. в уравнение
х – у = 5:
9 – у = 5
у = 4.
9 * 4 =36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9м и 4м. S = 36 м2.
Способ 3.
Следующий ученик.
Пусть х – длина прямоугольника, тогда (х – 5) – его ширина. По формуле вычисления периметра прямоугольника, имеем
2(х + х – 5) = 26; 2х – 5 = 13; 2х = 18; х = 9. 9 – 5 = 4
S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 м и 4 м. S = 36 м2.
Способ 4.
Возможен 4-й желающий решить задачу следующим способом
Выразим х = 13 – у из первого уравнения системы и подставим во второе уравнение системы, получим:
13 – у – у = 5;
– 2у = 5 – 13; 2у = 8; у = 4.
Подставим найденное значение у в формулу х =13 – у, т.е.
х = 13 – 4 = 9.
4 * 9 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S = 36м2.
Способ 5.
Далее желающих может не быть, потому сам учитель, активизируя класс, подводит к очередному способу решения системы.
Учитель.
Из второго уравнения системы получаем у = х – 5 и, подставим в первое уравнение системы. Решим полученное уравнение
2(х + х – 5) = 26;
2х – 5 = 13;
2х = 18;
х = 9.
Подставим найденное значение х в формулу
у = х – 5; у = 9 – 5 = 4.
S = х * у; S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S =36м2.
Способ 6.
Первое уравнение преобразуем к виду х = 13 – у, а второе уравнение системы к виду х = 5 + у. Теперь систему можно переписать так:
Ясно, что нас интересует такое значение у, при котором 13 – у = 5 + у.
Из этого уравнения находим
– у – у = 5 – 13;
– 2у = – 8;
у = 4.
Если у = 4, то из уравнения х = 13 – у, получим х = 13 – 4 = 9
S = х * у; S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S =36м2
Способ 7.
Метод подбора.
Учитель. Мы можем легко сообразить и определить, что х=9, у = 4 или наоборот, но нужно делать это осознанно и обоснованно.
х + у = 1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 = 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 7 + 6 = 8 + 5 = 9 + 4 = 10 + 3 = 11 + 2 = 12 + 1.
Проверяя эти пары чисел убеждаемся, что (1;12); (2;11); (3;10); (5;8); (6;7) не удовлетворяют требованиям задачи т.к. разность этих чисел не равна 5. И только (9;4) удовлетворяют системе.
S = х * у; S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S = 36м2
Способ 8.
Начертим графики соответствующие уравнениям 2(х + у) = 26; х – у = 5.
Учитель предлагает учащимся ответить на вопрос: Что значит графически решить систему двух уравнений с двумя неизвестными?
Ученик. Надо построить прямую х + у = 13, затем прямую х – у = 5 и, наконец, найти точку пересечения этих прямых.
1) Строим график уравнения х + у = 13. Если х = 0, то у
= 13. Если у = 0, то х = 13.
Итак, нашли две точки (0;13) и (13;0).
Построим на координатной плоскости ХОУ
прямую, проходящую через эти две точки.
2) Строим график уравнения х – у = 5. Если х= 0, то у
= – 5; если у = 0, то х = 5.
Проведем через точки (0; –5) и (5;0) прямую. Прямые
пересекаются в точке (9;4), т.е. х = 9, у = 4.
S = х * у; S = 9 * 4 = 36.
Ответ: длины сторон прямоугольника равны 9 и 4м. S = 36м2
Учитель. Мы исчерпали все возможности
решить эту систему каким-либо другим способом.
Решили систему восемью способами. Все они
правомерны и прекрасны.
Теперь подведем итоговое закрепление, для чего
ответим на следующие вопросы.
Итоговое закрепление.
Учитель.
– Какие темы программы вы использовали при
своих решениях?
– Какие способы при решении системы двух
уравнений с двумя неизвестными вы использовали
впервые?
– Какой из способов, использованных вами избрали
бы вы на ЕГЭ, если бы получили подобное задание?
– Разумеется, тот способ, который позволит вам,
прежде всего, выполнить задание быстро и
правильно.
Варианты ответов: способ подбора или способ сложения.
– Каковы ваши выводы?
Учитель. А теперь запишем домашнее задание: решить систему уравнений возможными способами и выделить наиболее рациональные решения:
Использованная литература: А.Г.Мордкович.