I. Рассмотрим задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения относительно некоторых характерных точек.
| № | Условия на корни |
| 1 | x1 < A, x2 < A
|
| 2 | x1 < A < x2
|
| 3 | x1 > A, x2 > A
|
| 4 | A< x1 < B A < x2 < B
|
| 5 | x1 < A A < x2 < B
|
| 6 | x2 > B A < x1 < B
|
| 7 | x1 < A, x2 > B
|
Во многих случаях нахождение корней уравнения и решение иррациональных неравенств приводит к громоздким преобразованиям.
В то же время использование свойств квадратичной функции позволяет существенно упростить решение, свести его к решению рациональных неравенств.
В математике, пожалуй, самое интересное – это задачи. Вместе с тем это и самое трудное. «Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано. Научиться ему можно, подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь. Помните: если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» (Д. Пойа)
II. Основное внимание – наглядности – график квадратного трехчлена
Обоснование утверждений существенно опирается на чертеж. Логичен и оправдан переход:
1) Вербальная модель (словесное
описание задачи)
2) Геометрическая модель,
соответствующая условиям задачи (график
квадратного трехчлена)
3) Аналитическая модель (описание
геометрической модели системой неравенств)
III. Решение задач
№ 1. При каких m уравнение x2 – (2m + 1)x + 3m – 4 = 0 имеет два корня, один из которых больше 2, а другой меньше 2?
Решение.
1) Рассмотрим функцию f(x) = x2 – (2m + 1)x + 3m – 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
2) Т.к. x1 <2 < x2, то построим геометрическую модель, соответствующую условиям задачи.
3) Дадим
аналитическое описание этой модели: f(2) < 0.
Расшифруем это условие:
f(2) = 4 – (2m + 1)2 + 3m – 4 = 4 – 4m – 2 + 3m – 4 = – m – 2
4) Т.о. получаем неравенство:
– m – 2 < 0
m > – 2
Ответ: при m > – 2 уравнение имеет два корня, один из которых больше 2, а другой меньше 2.
№ 2. При каких m уравнение mx2 + (3m – 2)x + m – 3 = 0 имеет корни разных знаков?
Решение.
1) m = 0 – контрольное значение параметра.
При m = 0 данное уравнение примет вид: – 2х – 3 =
0
х = – 1,5, что не удовлетворяет условиям
задачи.
2) При m =/= 0 рассмотрим уравнение в виде 
.
3) Рассмотрим функцию 
. Графиком этой функции является
парабола, ветви которой направлены вверх.
4) Т.к. x1 < 0 < x2, то построим геометрическую модель, соответствующую условиям задачи.
5) Дадим
аналитическое описание этой модели: f(0) < 0.
Расшифруем это условие: 
4) Т.о. получаем неравенство: 
, что равносильно неравенству 0
< m < 3.
Ответ: при m 
(0; 3) уравнение имеет корни разных знаков.
№ 3. При каких m только один корень квадратного трехчлена x2 – 3(m + 1)x + 12m – 4 больше 3?
Решение.
1) Рассмотрим функцию f(x) = x2 – 3(m + 1)x + 12m – 4. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
2) Т.к. x1 < 3 < x2, то построим геометрическую модель, соответствующую условиям задачи.
3) Дадим
аналитическое описание этой модели: f(3) < 0.
Расшифруем это условие: f(3) = 9 – 9(m + 1) + 12m – 4 = 9 – 9m – 9 + 12m – 4 = 3m – 4
4) Т.о. получаем неравенство: 3m – 4 < 0, что
равносильно неравенству 
5) Если квадратный трехчлен имеет единственный корень, то построим геометрическую модель, соответствующую условиям задачи.
6)
Составим аналитическую модель: 1) D = 0; 2) f(3)
> 0; 3) xв > 3.
Расшифруем эти условия:
D = 9(m + 1)2 – 4(12m – 4) = 9m2 +18m + 9 – 48m +16 = 9m2 – 30m + 25 = (3m – 5)2
f(3) = 9 – 9(m + 1) + 12m – 4 = 9 – 9m – 9 + 12m – 4 = 3m – 4
7) Т.о. получаем смешанную систему: 
U 
8) Объединяя полученные значения параметра, получим ответ.
Ответ: при 
квадратный трехчлен имеет
только один корень больше 3.
№ 4 Определить все значения действительного параметра а, при которых корни квадратного трехчлена ax2 + ax + 1 различны и лежат на [0; 2].
Решение.
1) Рассмотрим функцию f(x) = ax2 + ax + 1. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх.
2) Т.к. 0 < x1 < 2 и 0 < x2 < 2, то построим геометрическую модель, соответствующую условиям задачи.
3) Дадим
аналитическое описание этой модели: 1) D >
0; 2) f(0) > 0; 3) f(2) > 0;
4) 0 < xв < 2
Расшифруем эти условия:
D = a2 < – 4
f(0) = 1
f(2) = 4 + 2a + 1 = 2a + 5
xв
4) Т.о. получаем систему неравенств: 
Ответ: при a [– 2,5; – 2) корни квадратного
трехчлена ax2 + ax + 1 различны
и лежат на [0; 2].
№ 5 При каких m уравнение (m + 1) x2 – 2mx + 2m – 2 = 0 имеет два различных корня одного знака?
Решение (1 способ)
1) m = – 1 – контрольное значение параметра.
При m = – 1 данное уравнение примет вид: 2х
– 4 = 0
х = 2, что не удовлетворяет условиям задачи.
2) При m =/= – 1 рассмотрим уравнение в виде 
.
3) Рассмотрим функцию 
. Графиком этой функции является
парабола, ветви которой направлены вверх.
4) Т.к. x1 < 0; x2 < 0 или x1 > 0; x2 > 0, то придется построить две геометрические модели, соответствующие условиям задачи.
Практически придется решить две задачи и объединить полученные значения параметра. Очень большой объем работы.
Решение (2 способ)
1) – 2) – аналогично (см. 1 способ)
3) Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D > 0.
Условия x1 < 0; x2 < 0 или x1 > 0; x2 > 0 влекут единственное условие x1 · x2 > 0.
4) Расшифруем эти условия:
Согласно теореме Виета, x1 · x2
= 
.
5) Т.о. получаем систему неравенств:
Ответ: при 
уравнение (m + 1) x2
– 2mx + 2m – 2 = 0 имеет два различных
корня одного знака.
О расположении корней квадратного трехчлена, коэффициенты которого зависят от параметра.
При решении таких задач удобнее всего использовать геометрическую модель, соответствующую условию задачи, и выполнить аналитическое описание этой модели.
x1 и x2 – корни
многочлена f(x) = ax2 + bx +
c (a 0), D = b2 – 4ac, 
| № | Условия на корни | a>0 | |
| 1 | x1 < A, x2 < A
|
 |
|
| 2 | x1 < A < x2
|
 |
 |
| 3 | x1 > A, x2 > A
|
 |
|
| 4 | A < x1 < B A < x2 < B
|
 |
 |
| 5 | x1 <A A < x2 < B
|
 |
 |
| 6 | x2 > B A < x1 < B
|
 |
 |
| 7 | x1 < A, x2 > B
|
 |
 |
