В работе рассмотрены некоторые задачи на движение центра масс, рассматриваемые на школьном факультативе по физике в Лицее научно-инженерного профиля города Королева. Представляется, что данная статья может быть полезной как для учителей физики школ с углубленным изучением предмета, так и для абитуриентов.
Теоретический материал.
Импульс или количество движения
материальной точки есть вектор, равный
произведению массы этой точки m на вектор ее
скорости v: 
.
Импульс силы – это вектор, равный
произведению силы на время ее действия: 
. Если сила не
является постоянным вектором, то под F
следует понимать среднее значение вектора силы
за рассматриваемый интервал времени.
Теорема об изменении импульса материальной точки. Пусть на материальную точку m действует постоянная сила F. Тогда
, или 
. Таким образом изменение
импульса материальной точки равно импульсу силы,
действующей на нее.
Импульс системы материальных точек равен
по определению сумме импульсов всех N точек
системы: 
Изменение импульса системы материальных точек равно импульсу равнодействующей внешних сил, действующих на систему.
Изолированная (замкнутая) система – это такая система материальных точек, на которую не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю.
Закон сохранения импульса: импульс изолированной системы материальных точек сохраняется, каково бы ни было взаимодействие между ними:
Если внешние силы, действующие на систему не равны нулю, но существует такое неизменное направление (например, ось OX), что сумма проекций внешних сил на это направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление сохраняется.
Центр масс системы материальных точек.
Центром масс N материальных точек m1,
m2,…, mN, положения которых
заданы радиус-векторами 
, называют воображаемую точку,
радиус-вектор которой определяется формулой:
.
Тогда координаты центра масс равны:
,
,
.
Скоростью центра масс является вектор
,
где 
–
скорость i-й точки.
Ускорением центра масс является вектор
где 
–
ускорение i-й точки.
Теорема об ускорении центра масс системы материальных точек. Произведение суммы масс точек системы на ускорение центра масс равно сумме внешних сил, действующих на точки системы.
Если на систему материальных точек не действуют внешние силы, то скорость центра масс относительно любой инерциальной системы отсчета сохраняется, каково бы ни было взаимодействие внутри системы.
Если при этом скорость центра масс относительно некоторой инерциальной системы была равна нулю, то сохраняется и положение центра масс.
Два этих утверждения являются прямыми следствиями закона сохранения импульса.
Примеры задач.
Задача 1. Частица массы m движется со скоростью v, а частица массы 2m движется со скоростью 2v в направлении, перпендикулярном направлению движения первой частицы. На каждую частицу начинают действовать одинаковые силы. После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью 2v направлении, обратном первоначальному. Определите скорость второй частицы. [1]
Решение.
Изменение импульса частицы массой m вследствие действия импульса силы равно 3mv, следовательно вторая частица приобретает точно такой же импульс перпендикулярно направлению ее движения. Полный импульс второй частицы находится векторным сложением его составляющих по двум перпендикулярным направлениям и равен 5mv. Скорость второй частицы тогда равна 5v/2.
Задача 2. Ящик с песком массы М лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен µ. Под углом ? к вертикали в ящик со скоростью v влетает пуля массы m и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, начав двигаться, остановится? При каком значении ? он вообще не сдвинется? [1]
Решение. Изменение импульса системы материальных точек равно импульсу равнодействующей внешних сил, действующих на систему. По горизонтальной и вертикальной оси:
где u – скорость ящика сразу после того, как
пуля в нем застрянет, N – реакция опоры, 
– время, за
которое пуля застревает в песке. Из этих
уравнений следует
Так как пуля застревает почти мгновенно
последним членом в правой части можно
пренебречь. После того, как пуля застрянет, ящик
тормозит под действие силы трения с ускорением 
. Ящик
останавливается за время 
. Ящик не сдвинется, если 
.
Задача 3. По наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом, с постоянной скоростью v съезжает ящик с песком массой M. В него попадает летящая горизонтально пуля массой m, и ящик при этом останавливается. С какой скоростью u летела пуля?
Решение. Вдоль наклонной плоскости изменение импульса системы
Поперек наклонной плоскости
Тогда 
и с учетом того, что 
(ящик съезжает с постоянной скоростью)
Задача 4. Обезьяна массы m уравновешена противовесом на блоке А. Блок А уравновешен грузом массы 2m на блоке В. Система неподвижна. Как будет двигаться груз, если обезьяна начнет равномерно выбирать веревку со скоростью u относительно себя? Массой блоков и трением пренебречь. [1]
Решение. Обезьяна получает импульс силы 
и начинает
двигаться со скоростью v к потолку. Точно
такой же импульс силы получает груз m и тоже
движется со скоростью v к потолку. Груз массой
2m получает импульс силы 
и тоже движется со скоростью v
к потолку. Блок А опускается вниз со скоростью v.
груз m движется относительно блока А
вверх со скоростью 2v. Веревка справа от блока
А движется от потолка со скоростью 3v.
относительно обезьяны веревка движется вниз со
скоростью 4v. Отсюда 
.
Задача 5. Из однородной круглой пластины
радиусом R вырезали круг вдвое меньшего
радиуса, касающийся края пластины.
Найти центр
тяжести полученной пластины.
Решение. Пусть масса пластины до вырезания равна M. Тогда масса вырезанной части равна M/4. Предположим, что имеется в наличии вещество с отрицательной массой, Тогда вырез можно получить наложением на пластину пластинки с отрицательной массой -M/4. Тогда, поместив начало координат в центр круга и направив ось X направо, положение центра масс получаем из формулы для координаты центра масс:
.
Задача 6. На гладком полу стоит сосуд,
заполненный водой плотности p0; объем
воды V0. Оказавшийся на дне сосуда жук
объема V и плотности p через некоторое
время начинает ползти по дну сосуда со скоростью u
относительно него. С какой скоростью станет
двигаться сосуд по полу?
Массой сосуда пренебречь,
уровень воды все время остается горизонтальным.
[1]
Решение. Пусть скорость сосуда v, тогда
скорость жука относительно пола u+v.
Импульс системы по горизонтальной оси
сохраняется и равен нулю. Удобно рассматривать
жука как совокупность воды массой 
и сублимированного
вещества жука массой 
, которое перемещается относительно
всей воды. Тогда импульс системы
и
Задача 7. На дне маленькой запаянной пробирки, подвешенной над столом на нити, сидит муха, масса которой равна массе пробирки, а расстояние от поверхности стола равно длине пробирки l. Нить пережигают, и за время падения пробирки муха перелетает со дна в верхний конец пробирки. Определить время, за которое пробирка достигнет стола.
Решение. Ускорение центра масс системы
определяется силами тяжести, действующими на
пробирку и муху, и равно g. За время падения
центр масс системы переместился на l/2. Отсюда
время падения 
.
Задача 8. На нити, перекинутой через блок, подвешены два груза неравной массы (m2 > m1). Определить ускорение центра масс этой системы. Массой блока и нити пренебречь. [2]
Решение. Ускорение тяжелого груза направлено
вниз и, как известно, равно 
. Ускорение легкого груза такое
же по модулю, но направлено вверх. Ускорение
центра масс находим по формуле из теоретического
раздела
Задача 9. В сосуде, наполненном водой
плотности p, с ускорением а всплывает
пузырек воздуха, объем которого V. Найдите
силу давления со стороны сосуда на опору. Масса
сосуда вместе с водой равна m. [1]
Решение. Будем рассматривать системы как
совокупность сосуда с водой массой 
и шарика с отрицательной
массой 
,
который поднимается вверх с ускорением a.
Тогда ускорение центра масс системы
и
направлено вниз. Из теоремы об ускорении центра
масс
, и отсюда
сила давления на опору, численно равная реакции
опоры N,
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 10. С горы с уклоном a (
) съезжают с
постоянной скоростью сани с седоком общей массой
M. Навстречу саням бежит и запрыгивает в них
собака массой m, имеющая при прыжке в момент
отрыва от поверхности горы скорость v,
направленную под углом 
(
) к
горизонту. В результате этого сани продолжают
двигаться по горе вниз со скоростью u. Найти
скорость саней до прыжка собаки. (Билет 3, 1991, МФТИ)
[3]
Ответ: 
Задача 11. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние S переместится лодка длиной L, если масса человека m, а масса лодки M? Сопротивлением воды пренебречь.
Ответ: 
Задача 12. На поверхности воды находится в покое лодка. Человек, находящийся в ней, переходит с кормы на нос. Как будет двигаться лодка, если сила сопротивления движению пропорциональна скорости лодки?
Ответ: Лодка сместится, а затем вернется в
исходное положение.
Задача 13. На первоначально неподвижной тележке установлены два вертикальных цилиндрических сосуда, соединенных тонкой трубкой. Площадь сечения каждого сосуда S, расстояние между их осями l. Один из сосудов заполнен жидкостью плотности p. Кран на соединительной трубке открывают. Найдите скорость тележки в момент времени, когда скорость уровней жидкости равна v. Полная масса всей системы m. [1]
Ответ: 
Задача 14. На тележке установлен
цилиндрический сосуд с площадью сечения S,
наполненный жидкостью плотности p. От сосуда
параллельно полу отходит длинная и тонкая
горизонтальная трубка, небольшой отрезок
которой вблизи конца загнут по вертикали вниз.
Расстояние от оси сосуда до отверстия трубки
равно L. Уровень жидкости в сосуде опускается
с ускорением а. Какой горизонтальной силой
можно удержать тележку на месте? [1]
Ответ: 
Литература.
1. Задачи по физике: Учеб. пособие/ И.И. Воробьев, П.И. Зубков, Г.А. Кутузова и др.; Под ред. О.Я. Савченко. ? 2-е изд., перераб. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. - 416 с.
2. Дмитриев С.Н., Васюков В.И., Струков Ю.А. Физика: Сборник задач для поступающих в вузы. Изд. 7-е, доп. М: Ориентир. 2005. – 312 с.
3. Методическое пособие для поступающих в вузы / Под. ред. Чешева Ю.В. М.: Физматкнига, 2006. – 288 с.