План:
- Релейные контактные схемы.
- Представление произвольной функции алгебры логики посредством параллельно-последовательной релейной контактной схемы.
- Задачи на анализ и синтез релейно-контактных схем.
- Упрощение релейно-контактных схем.
1. Релейные контактные схемы.
Автоматические устройства подразделяются на устройства дискретного и устройства непрерывного действия. К первому относятся, например, цифровые вычислительные машины. Работа устройств первого типа характеризуется прерывной, скачкообразной сменой конечного числа состояний. Примером устройств непрерывного действия являются моделирующие или аналоговые машины. Для них характерно непрерывное плавное изменение состояний. Физическая природа автоматических устройств определяется электротехническими, механическими и другими характеристиками элементов, которые их составляют. Кроме физических свойств, составляющие элементы имеют функциональные характеристики, которые учитывают назначение каждого элемента. Эти функциональные характеристики образуют логическую структуру устройства.
Логическим синтезом схемы дискретного действия называется определение логической структуры устройства по заданным условиям его работы. Логическим анализом схемы дискретного действия называется определение условий работы устройства по его известной логической структуре.
Далее рассмотрим тот простейший случай, когда элементы устройства могут иметь только два возможных состояния. То есть, когда они работают по принципу «да - нет», «замкнуто - разомкнуто». К устройствам этого типа относятся всевозможные включатели, переключатели, кнопки.
Оказалось, что имеется глубокое сходство между элементами такого типа и высказываниями. Это и послужило основой для применения алгебры высказываний к синтезу и анализу схем дискретного действия.
Впервые идея о возможности такого применения была высказана в 1910 г. голландским физиком Паулем Эренфестом.
Первым фундаментальным исследованием, обратившим внимание инженеров, занимавшихся проектированием ЭВМ, на возможность анализа электрических цепей с помощью булевой алгебры была опубликованная в декабре 1938 г. статья американца Клода Шеннона «Символический анализ релейно-контактных схем». После этой статьи проектирование ЭВМ не обходилось без применения булевой алгебры. Роль ключа в схеме вначале играли электромеханические реле, затем использовались электронные лампы и транзисторы. Развитие технологии позволило объединять несколько логических элементов на одной интегральной схеме.
2. Представление произвольной функции алгебры логики посредством параллельно-последовательной релейной контактной схемы.
Будем считать, что элементы, из которых строятся контактные схемы, есть электрические контакты с двумя положениями: «замкнуто» и «разомкнуто». При этом мы совершенно отвлечемся от способа, которым контакт переводится из одного положения в другое.
В схемах применяются замыкающиеся и размыкающиеся контакты. Первые в рабочем состоянии замыкают, а в не рабочем размыкают ее. Вторые наоборот. Одинаковыми большими буквами мы будем обозначать контакты, замыкаемые или размыкаемые одним и тем же управляющим устройством (реле, выключателем и т. п.).
Применение алгебры высказываний к синтезу и
анализу контактных
схем основано на возможности интерпретировать
булеву алгебру в терминах электрических цепей.
В этой интерпретации роль высказываний играют контакты, каждый из которых может быть замкнут или разомкнут. Знамению «истина» соответствует символ 1 - контакт замкнут. Значению «ложь» соответствует символ 0 - контакт разомкнут.
Дизъюнкции AvB соответствует схема, составленная из двух параллельно-соединенных контактов А и В. Действительно, схема, состоящая из двух параллельно соединенных контактов, пропускает ток тогда и только тогда, когда замкнут хотя бы один из контактов.
Конъюнкции А&В соответствует схема, составленная из двух последовательно соединенных контакт А и В. Действительно, схема, состоящая из двух последовательно соединенных контактов, пропускает ток тогда и только тогда, когда замкнуты оба контакта.
Отрицанию высказывания А соответствует размыкающий контакт А, управляемый тем же устройством, что и контакт А.
Таким образом, всякой функции алгебры логики можно поставить в соответствии электрическую схему, составленную из замыкающих и размыкающих контактов, которые соединяются последовательно или параллельно. Такие схемы называют «П-схемами» или схемами класса «П».
Пример 1.
Построить соответствующую «П-схему» для следующей формулы: А v В&С.
Ответ:
Пример 2.
Построить формулу алгебры логики, соответствующую данной «П-схеме».
Ответ: A&B v C v D
Установленное соответствие между «П-схемами» с одной стороны и формулами алгебры высказываний с другой является основой для применения аппарата алгебры высказываний к теории электрических цепей.
3. Задачи на анализ и синтез релейно-контактных схем.
I. Упростить релейно-контактную схему и произвести ее анализ работы.
1:
а) Для упрощения схемы записываем ее структурную формулу.
б) Затем полученную формулу упрощаем равносильным образом доминимального числа вхождения букв.
в) По полученной формуле восстанавливаем соответствующую ей схему. Эта схема работает также как первоначальная, но проще ее, т.к. содержит меньшее число контактов.
Решение:
Первое преобразование правило поглощения для каждой скобки, второе – применение распределительного закона, третье – группируем первую и третью конъюнкции и применяем распределительный закон, четвертое – применяем закон исключения третьего (в скобках), а затем тавтологию тавтологии.
Строим для полученной формулы схему:
2:
Анализ работы схемы можно произвести по первоначальной формуле, соответствующей этой схеме, но лучше работать с упрощенной формулой, т.к. это сопряжено с меньшими вычислениями. Для формулы составляется таблица истинности, которая показывает, при каких положениях контактов схема пропускает ток, а при каких нет.
| X | Y | Z |  |
 |
X&Z |  |
F (X,Y,Z) |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Вывод: Полученная электрическая схема работает следующим образом: ток в цепи есть, кроме двух случаев. Первый случай контакты X и Y разомкнуты, а контакт Z замкнут. Второй случай контакт X замкнут, а контакты Y и Z разомкнуты.
II. Синтез релейно-контактных схем заключается в построении схемы по заданным условиям работы (по таблице истинности). Например, составить трехконтактную схему с одним входом и одним выходом. Таким образом, чтобы на выходе появился сигнал тогда и только тогда, когда любые два и только два из трех контактов замкнуты. Задача такого рода решается следующим образом:
- Записываем условие работы схемы в таблицу.
- С помощью таблицы строим формулу, соответствующую искомой схеме.
- Эту схему упрощаем до минимального числа вхождения букв.
- По полученной формуле воспроизводим схему.
Обозначим контакты искомой схемы через А, В, С.
Пусть F(А,B,C)- формула, соответствующая искомой схеме, запишем условие работы схемы в таблицу:
| А | В | С | F (А,В,С) |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
Искомую формулу по таблице истинности можно выполнить двумя способами:
1 способ: единичных значений функции.
2 способ: нулевых значений функции.
Решим 1 способом.
- выбираем в таблице все те наборы значений
переменных, при которых
значение функции равно 1: (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0) - каждому выбранному набору значений переменных
ставится в соответствии истинное логическое
произведение переменных или их отрицаний:
- берем логическую сумму произведений,
полученных выше. Это и будет искомая формула. Ее
надо упростить, если это возможно.
Решим 2 способом.
- выбираем в таблице все те наборы значений переменных, при которых значение функции равно 0: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (1,1,1)
- каждому выбранному набору значений переменных
ставится в соответствии логическая сумма
переменных или их отрицаний, которая при данном
наборе принимает значение 0:
- берем логическое произведение (конъюнкцию) всех сумм, полученных выше. Это и будет искомая формула. Ее надо упростить, если это возможно.
Литература:
- Бауэр Ф.Л., Гооз Г. информатика. Вводный курс: В 2-х ч. Ч1. Пер. с нем. – М.: Мир, 1990.
- Вершинин О.Е. За страницами учебника информатики: Кн. для учащихся 10 – 11 кл. сред. Шк. – М.: просвещение, 1991.
- Коляда М.Г. Окно в удивительный мир информатики. – Д.: Сталкер, 1999.