"Разлагай и властвуй" - применение разложения на множители

Цель и задачи: закрепление полученных знаний, умений и навыков разложения на множители; показ разнообразия применения данной темы на практике.

Оборудование: плакаты с формулами сокращённого умножения, с различными способами разложений на множители (или мультимедийный проектор ПК для показа слайдов, Презентация, Приложение 2).

Структура урока:

• “Без неё не обойтись” - немного теории о способах разложения на множители - повторение.
• “Разлагай и властвуй!” - применение разложения на множители:
• “Это же быстрее!” - примеры на вычисления;
• “Щелкай, как орешки!” - сокращение дробей, упрощение и преобразование выражений, доказательство тождеств;
• “УРА! УРА! УРАвнения!” - решение уравнений;
• “…и даже в геометрии!” - решение геометрических задач;
• “Вот это да!” - построение графиков;
• “Ох, уж этот модуль!” - задания с модулем;
• “Ещё одна переменная!” - задания с параметром.
• “А вот и вершина удовольствия…” - решение олимпиадных заданий;
• “Успех – это 99 % потения и 1 % везения!” - подведение итогов урока.

Ход урока

Организационный момент. Постановка целей урока и мотивация.

Добрый день, дорогие ребята! Сегодня у нас необычный обобщающий урок по теме: “Разложение на множители его применение”. Один из древнегреческих императоров, желая власти над людьми, сказал: “Разделяй - и властвуй!” Почему бы и нам на уроке алгебры не побыть властелинами только не над человеком, а над решениями многих интересных стандартных и нестандартных заданий. Попробуйте заменить слово “разделяй” на слово “разлагай”! - получилась необычная тема сегодняшнего урока: “РАЗЛАГАЙ – И ВЛАСТВУЙ!”.

1. Повторение: “Без неё не обойтись” - немного теории о способах разложения на множители.

Супер - разложения на множители есть!

Сколько применений им – всех не перечесть!

Для практической части нашего урока нам понадобится знание различных способов разложения на множители многочлена, с которыми мы уже знакомы. Давайте вспомним: что значит разложить многочлен на множители? (ответ: значит представить его в виде произведения более простых многочленов). Какие способы разложения вы знаете? (учащиеся перечисляют)

Существует несколько способов разложения (показ слайдов или демонстрация таблиц):

• вынесение общего множителя за скобки;
• способ группировки;
• с помощью формул сокращенного умножения:

а²-b²=(a-b)(a+b);
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²);
a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²);
aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^n-1 + a^n-2b + …+ ab^n-2 + b^n-1), где n Є N
a²+2ab+b²=(a+b)²;
a²-2ab+b²=(a-b)²;
а³ + 3а²в + 3ав² + в³ = (а + в)³
а³ - 3а²в + 3ав² - в³ = (а - в)³

4. разложение на множители трёхчлена с помощью формулы:

х²+рх+q=(х-а)(х-в), где –р =а+в, q=ав.*

*( тема квадратные уравнения ещё не изучалась, а эта формула рассматривалась в 7 классе, её вывод : (х-а)(х-в)= х²-хв-ха+ав=х²-(а+в)х+ав, сравнив с данным квадратным трёхчленом, видим, что –р =а+в, q=ав.)

5. комбинированные способы разложения на множители многочлена.

Переходим к основной части урока – практической! Как вы, ребята думаете, где можно применить разложение на множители?(Уч-ся называют, учитель дополняет)

“Это же быстрее!” - примеры на вычисления

Иногда, вычисляя нерациональными способами примеры, теряешь много времени (например, решая их по действиям). Поэтому быстрый, удобный способ нахождения значений выражений – залог успеха. В этом нам поможет умение разлагать на множители!

Задание № 1(устно) Вычислить:

239²-187² (239-187) (239+187) 52•426

————— = ————————— = ———— = 52

426 426 426

Задание № 2.(устно) Вычислить:

8,3²- 83•0,13 8,3(8,3-10•0,13) 8,3(8,3-1,3) 8,3•7

————— = ——————— = ————— = ——— = 83

0,7 0,7 0,7 0,7

Задание № 3. (Пока все решают устно, один ученик в это время у доски, затем идёт проверка решения )

2,5³-4,4³ (2,5-4,4)(2,5²+2,5•4,4+4,4²)

———— +2,5²+4,4² = ———————————— +2,5²+4,4² =

1,9 1,9

= -(2,5²+2,5•4,4-4,4²)+2,5²+4,4² = -2,5²-2,5•4,4-4,4²+2,5²+4,4² = -11

“Щелкай, как орешки!” -

сокращение дробей, упрощение и преобразование выражений, доказательство тождест.

Задание № 4.

Разложить на множители квадратный трёхчлен х²+10х+24.

1 способ: т.к. 24 = -6 · (-4) и -10 = -6+ (-4), то х²+10х+24 = (х-(-6))(х- -4)) = (х+6)(х+4).

1 способ: а можно разложить и способом группировки:

х²+10х+24 = х²+(6х + 4х)+24 = (х²+6х) + (4х+24) = х(х+6)+4(х+6) = (х+6)(х+4)

Далее уч-ся делятся на группы:

• 1 группа занимается упрощением и преобразование выражений,
• 2 группа решает уравнения и решение задач с помощью уравнений;
• 3 группа пробует себя в построении графиков;
• 4 группа - задания с модулем и с параметром.

2-3 самых сильных ученика решают олимпиадные задания;

1 группа

Задание № 5

х²-5х-24

Сократить —————.

х²+5х- 6

х²-5х-24 (х+3)(х-8) х-8

————— = ———— = —— , 24 = 8·(-3), 5 = 8+(-3) и 6 = -2·(-3), -5 = -2+(-3)

х²+5х- 6 (х+3)(х+2) х+2

- разложение на множители выполнено с помощью формулы х²+рх+q=(х-а)(х-в), где –р =а+в, q=ав.

Задание № 6

Представить в виде произведения многочлен

а). 16с²-9m²-42m-49; б). 70x+25-36y²+49x².

а). 16с²-9m²-42m-49=16с²-(9²+42m+49)=16c²-((3m)²+2•3m•7+7²)=16c²- (3m+7)²= (16c-(3m+7))•(16c+(3m+7))=(16c-3m-7)•(16c+3m+7)

б). 70x+25-36y²+49x²=(49x²+70x+25)-36y²=((7x)²+2•7x•5+5²) - 36y²= =(7x+5)² - 36y²=(7x+5-6y)( 7x+5+6y)

у² + 6у+ 9

Задание №7. При каких значениях переменной у значение дроби (y^2+6y+9)/y^2+3y равна у² + 3у нулю?

1) Найдем область допустимых значений переменой х:

у²+3у?0 у=/0 отсюда следует, что дробь имеет

у(у+3)?0 у=/-3 смысл при всех у, кроме 0 и -3

2) Сократим эту дробь:

у²+6у+9 (у+3)² у+3

у²+3у у (у+3) у

3) Приравняем к нулю числитель: у+3=0, у=-3,

учитывая (1)и (2)пункт, сделаем вывод, что данная дробь не может существовать при у=0 и у=-3, а значит, нет таких значений у, чтобы данная дробь равнялась нулю.

Задание № 8. Представить выражение в виде произведения двух многочленов:

х(х+1)(х+2)(х+3)-15

х(х+1)(х+1)(х+3)-15=(х(х+3))((х+1)(х+2))-15=(х²+3х)(х²+3х+2)-15

Примем х²+3х=у, тогда у(у+2)-15 = у²+2у-15= (у+5)(у-3), т.к. -15 = -5·3 и -2 = -5 + 3,

отсюда следует, что (х+3х+5)(х²+3х-3)

Задание № 9.

Разложите на множители многочлен:

2а²-х²-ах-а+х

2а²-х²-ах-а+х = а²+а²-х²-ах-а+х = (а²-х²)+(а²-ах)-(а-х) = (а+х)(а-х)+а(а-х)-(а-х)= (а-х)(а+х+а-1) = (а-х)(2а+х-1) - способ группировки.

2 группа

“УРА! УРА! УРАвнения!” - решение уравнений.

Задание № 10.

Решить уравнение (2х²-х+1)²+6х=1+9х²

(2х²-х+1)²+6х = 1+9х²

(2х²-х+1)² = 9х²-6х+1

(2х²-х+1)² = (3х-1)²

(2х²-х+1)² - (3х-1)² = 0 - разность квдратов

((2х²-х+1) - (3х-1))((2х²-х+1) + (3х-1)) = 0

а) (2х2-х+1) -(3х-1) = 0;	б) (2х2-х+1) +(3х-1) = 0
2х2-4х+2 = 0	2х2+2х = 0
х2-2х+1 =0	2х(х+1) = 0
(х-1)2 = 0	х2 = 0 или х3 = -1
х1 = 1	Ответ: -1;0;1

Задание № 11. Решить уравнение х²+1=2х+(3х²-х-2)²

х²+1=2х+(3х²-х-2)²

х²-2х+1=(3х²-х-2)²

(х-1)² - (3х²-х-2)² = 0;

а) (х-1) - (3х²-х-2) =0 б) (х-1) + (3х²-х-2) = 0

х-1-3х²+х+2= 0                    х-1+3х²-х-2 = 0

3х²-2х-1=0                           3х² -3 = 0

х²-2/3х-1/3 = 0                      х²-1=0

-1/3 = -1/3·1; 2/3 = 1+(-1/3); (х-1)(х+1) = 0

х₁=1 х₃=х₁=1

х₂= -1/3 х₄=-1

Ответ: -1/3; 1; -1

“…и даже в геометрии!” -решение геометрических задач.

Задача № 12.

Длина прямоугольника 12 см. Его площадь на 36 см² больше площади со стороной, равной ширине прямоугольника. Найти сторону квадрата.

Пусть х см – ширина прямоугольника или сторона квадрата. Тогда х² см ² – площадь квадрата, а площадь прямоугольника – 12х см^2. Т.К. площадь прямоугольника больше площадь квадрата на 36 см², то составим уравнение:

12х – х² = 36;

х² – 12х + 36 = 0; - свернём правую часть с помощью формулы

(х-6)² = 0; квадрата разности

х-6 = 0;

х = 6; 6 см длина стороны квадрата. Ответ: 6 см

Задача №13.

Доказать, что из всех прямоугольников с периметром 16 см наибольшую имеет квадрат со стороной 4 см.

Пусть х см – одна из сторон прямоугольника (х > 0), смежная с ней сторона – (8-х) см . Площадь прямоугольника равна х(8-х) см².

Преобразуем это выражение: х(8-х) = 8х – х² = -(х²-8х). Выделим квадрат двучлена из квадратного трёхчлена: - (х²-2х·4 + 16 – 16) = -(х-4)²+16.

(х-4)² - положительное значение при любых х, -(х-4)² – принимает только отрицательные значения. Наибольшее значение площадь прямоугольника имеет, когда х-4 = 0, х = 4. Значит, прямоугольник, имеющий одну из сторон 4 см и периметр 16 см , может быть только квадратом с наибольшей площадью из всех прямоугольников.

3 группа

“Вот это да!” - построение графиков некоторых функций.

Задание № 14.

х²- 9

Построить график функции у = ——

х- 3

1).Найдем область определения функции: х-3 ? 0, х ? 3

2)Упростим выражение:

(х-3)•(х+3)

у= ————— = х+3

х-3

3).Получили: у=х+3 — это линейная функция, которая не существует при х=-3

4).Строим график

4 группа

“Ох, уж этот модуль!” - задания с модулем.

Задание № 21. Решить уравнение : х²+х+1=|х|⁰

если х=0, то |х|⁰ = |0|⁰ = 0

0²+0+1=0, 1=0 – неверное равенство, отсюда следует, что при х= 0 уравнение не имеет корней

если х – любое число, следовательно, |х|⁰=1, тогда

х²+х+1=1

х²+х = 0

х (х+1) = 0

х₁=0 или х+1=0

х₂=-1

Ответ: х=-1

Рассмотрим задание , где встречается и модуль и нужно построить график (Показ слайда №12)

“Ещё одна переменная!” - задания с параметром.

Задание № 16

Решите уравнение относительно х: а²+а-6-ах-3х=0

Преобразуем левую часть: а²+3а-2а-6-ах-3х=0;

(а²+3а) + (-2а-6 )= х+3х;

а(а+3) - 2(а+3) = х(а+3);

(а+3)(а-2) = х(а+3);

(а+3)(а-2) - х(а+3) = 0;

(а+3)(а-2-х) = 0;

Рассмотрим разные случаи:

1) а+3=0, а=-3, получим уравнение 0(-3-2-х)=0, 0х=0, отсюда следует, что х-любое

2) а?-3, х=а-2 — единственный корень

Ответ: при а=-3 уравнение имеет бесконечное множество корней,

при а?-3, уравнение имеет единственный корень.

САМЫЕ сильные 2-3 ученика

“А вот и вершина удовольствия…” - решение олимпиадных заданий.

Задание № 24. Решить уравнение: х³+2005х+2006=0

х³+2005х+2006 = 0;

х³+2005х+2005+1 = 0;

(2005х+2005) + (х³+1) = 0;

2005(х+1)+(х+1)(х² - х+1) = 0;

(х+1)(2005+х² - х+1) = 0;

(х+1)(х²-х+2006)=0;

х+1=0 или х² – х + 2006=0

х = -1 х²- 2•1/2х + (1/2)² - (1/2)² + 2006=0

(х-1/2)² + (2006-1/4)=0

1). (х-1/2)²?0 0

2). 2006-1/4>0

- сумма (1) и (2) при любых х всегда больше 0, поэтому уравнение имеет единственный корень х = -1.

Задание № 25.

Решить уравнение [х²⁰⁰⁷] + [х²⁰⁰⁶] +…+ [х²] + [х] = {х} – 1, где [а] – целая часть числа, т.е. наибольшее целое число , которое не превышает числа а, {а} = а - [а] - дробная часть числа a.

[х²⁰⁰⁷] + [х²⁰⁰⁶] +…+ [х²] + [х] - {х} +1 =0,

из уравнения следует, что {х} – целое число, то {х} = 0, а потому число х – целое. При этих условиях данное уравнение приобретает вид:

х²⁰⁰⁷ + х²⁰⁰⁶ +…+ х² + х - 0 + 1= 0, сгруппируем по парам слева направо и в каждой паре вынесем общий множитель:

х²⁰⁰⁶(х+1) +х²⁰⁰⁴(х+1) + … + х²(х+1) + 1 = 0; вынесем общий множитель за скобки, получим:

(х+1)( х²⁰⁰⁶ +х²⁰⁰⁴ + … + х² + 1) = 0, легко заметить, что второй множитель состоит из суммы четных степеней, а они всегда положительны, и положительного числа 1, значит, и вся сумма будет больше 0, этот множитель не может быть равным 0, поэтому х+1 = 0, х = -1 –единственный корень данного уравнения.

Ответ: х=-1

Задание № 28.Докажите, что если к трёхзначному числу приписать справа то же число, то полученное шестизначное число будет кратно 7, 11 и 13.

Решение : Пусть – данное трёхзначное число, тогда полученное шестизначное число будет . Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:

=10000а + 10000в + 1000с + 100а + 10в + с = (100000 + 100)а +

+ (10000 +100)в + (1000 + 1)с = 100100а + 10010 в + 1001с =

= 1001( 100а + 10в + с) = 13·11·7·(100а + 10в + с),

т.к. 1001 кратно и 13, и 11, и 7, а если один из множителей делится на эти числа , то само произведение делится на них, а значит и полученное шестизначное тоже кратно 7, 11 и 13.

“Успех – это 99 % потения и 1 % везения!” - подведение итогов урока.

После работы ребят в группах идёт обмен и разбор решений, некоторые решения рассматриваются на слайдах, итоги урока подводятся, ставятся оценки. И даётся домашнее задание (смотри Приложение № 3 “Примеры для самостоятельной работы”). СПАСИБО ЗА УРОК, ДЕТИ! Творческих вам успехов!

PS: многие задания рекомендованы для сильного и среднего состава учащихся или класса с углубленным изучением алгебры.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Алтынов П.И., Звавич Л.И., Медняк А.И., 2600 тестов и проверочных заданий по математике для школьников 5-11 классов и поступающих в ВУЗы, Москва, “Дрофа”, 1999г.
2. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И., Сборник задач по алгебре: учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики, Москва, “Просвещение”, 2006 г.
3. И.С. Маркова, автор-составитель, Новые олимпиады по математике, серия “Здравствуй, школа!”, Ростов-на-Дону, изд. “Феникс”, 2005 г.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Алгебра, 7 класс: учебник для школ и классов с углубленным изучением математики, Москва, “Мнемозина”, 2003г.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Алгебра, 8 класс: учебник для школ и классов с углубленным изучением математики, Москва, “Мнемозина”, 2003г.
6. Мордкович А.Г., Алгебра,8 класс: учебник для классов с углубленным изучением математики Москва, “Мнемозина”, 2004г.
7. А.И. Ершова В.В. Голобородько, А.С. Ершова, Дидактические материалы, 7 и 8 классы: разноуровневые самостоятельные, проверочные и контрольные работы, Москва, “Мнемозина”, 2003, 2005, 2006 гг.