План-конспект урока по теме: "Решение логарифмических уравнений методом замены переменной"

Задача: опираясь на ранее изученные свойства логарифмов, научиться решать логарифмические уравнения с помощью замены переменной.

Цели:

• образовательная: научить применять метод замены переменной при решении логарифмических уравнений;
• развивающая: формировать приемы умственной деятельности: сравнения, аналогии, сопоставления, углублять и систематизировать знания по теме;
• воспитательная: учить преодолевать трудности, работать в быстром темпе, воспитывать стремление к совершенствованию знаний.

Тип урока: урок изучения нового.

Оборудование:

• плакаты: “Свойства логарифмов”, самостоятельная работа на два варианта;
• магнитная доска и магниты;
• карточки с домашним заданием.

Ход урока

1. Организационный момент.

Вступительное слово учителя. Сегодня я хочу познакомить вас с одним из интересных способов решения логарифмических уравнений – методом замены переменной. При их решении мы будем пользоваться свойствами логарифмов, которые приведены на плакате.

2. Объяснение нового материала. Рассмотрим примеры.

Пример 1.

log₉(x-2)+log₈₁(x-2)=1,5

ОДЗ: x-2>0 или x>2

Пусть log₉(x-2)=t , тогда x-2=9^t и исходное уравнение

принимает вид:

t+=1,5
1,5t=1,5
t=1 , отсюда x-2=9¹
x=11

Ответ: 11

Решите в группах уравнение:

Log₄^x(5-x)+log₈^x(5-x)+log₁₆^x(5-x)=

Указание:

Log₄^x(5-x)=t, заменить 5-x на (4^x) во втором и третьем слагаемом правой части уравнения.

(ответ: 1)

Пример 2.

log₂x+ log₃x= log₂x* log₃x

Применяя формулу перехода к другому основанию: log₃x=

И полагая, что log₂x=t; x>0, имеем

t+=t*, т.к. = log₃2, то
t+tlog₃2-t² log₃2=0.
t(1+log₃2-t log₃2)=0, откуда
t=0 или tlog₃2= log₃2+ log₃3
tlog₃2= log₃6
t=
log₂x=0 log₂x= log₂6
x=2⁰=1 x=6

Ответ:1; 6.

Решите в группах уравнение:

Log₂х+ log₃х=1

(ответ: )

Пример 3.

Log_2хх+ log_4х2х²=1,5

Положим log₂х=t; x>0, тогда х=2^t

t(2+t)+(2t+1)(t+1)=1,5(t+1)(2+t)
t²+2t+2t²+3t+1=1,5t²+4,5t+3
1,5t²+0,5t-2=0
t₁=1 t₂=
x=2¹=2 x=2^4/3=
Ответ: 2 и

Решите в группах:

Log_х2* =

(Ответ: 4; 8)

Пример 4. Некоторые уравнения можно решить логарифмированием обеих частей уравнения, но можно и при помощи замены переменной. Рассмотрим как раз такой случай.

log₂x=t, x>0; x=2^t

t²+3t-4=0
t₁=1; t₂=-4 отсюда x=2¹=2
x=2^-4=

Ответ: 2 и

Решите в группах следующее уравнение:

(ответ: 3 и 1/9)

Пример 5.

log₆x=t, x>0; x=6^t
t²=1 t=1 и t=-1,

тогда x=6 и x=

Ответ: 6 и

В группах решите:

(ответ: и 4)

Самостоятельная работа.

1 вариант	2 вариант
а) log2x+ log4x+ log8x=11	а) log4x+ log16x+ log2x=7
б) x2lgx=10x	б) x2lgx=100x
в)	в)
г)	г)
д)	д)
е) 3log3xx=2log9xx2	е) 2log4xx3=5log2xx

Итоги урока

Домашнее задание:

а)
б) log₄x+log_x8=
в)
г)
д)
е)

Список использованной литературы

1. Башмаков М.И., Братусь Т.А., Жарковская Н.А. и др. “Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы. 10-11 классы” М., Дрофа, 2004.
2. Бородуля И.Т. “Показательная и логарифмическая функции (задачи и упражнения)” М., Просвещение,1984.
3. Зив Б.Г., Алтынов П.И. “Алгебра и начала анализа. Геометрия. Дидактические материалы” М., Дрофа, 1999.
4. Зив Б.Г., Гольдич В.А. “Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы” СПб.,Петроглиф, 2006.
5. Карп А.П. “Сборник задач по алгебре и началам анализа” М., Просвещение, 1999.
6. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. “Задачи по алгебре и началам анализа” М., Просвещение, 1997.
7. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики” М., Педагогический университет “Первое сентября”, 2006.
8. Шабунин М.В. “ Уравнения. Лекции для старшеклассников и абитуриентов”  М., Чистые пруды, 2005.
9. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. “Факультативный курс по математике. Решение задач. 11 класс” М., Просвещение, 1991.