Урок алгебры и начала анализа в 11-м классе "Показательные уравнения"

Разделы: Математика


Цели и задачи:

  • Обобщить знания и умения учащихся по применению методов решения показательных уравнений.
  • Актуализировать личностный смысл учащихся к изучению темы.
  • Помочь учащимся осознать социальную, практическую и личную значимость учебного материала.
  • Создать содержательные и организационные условия для развития умений решать показательные уравнения, системы уравнений и находить различные способы их решений.
  • Создать условия для творческой самореализации личности.
  • Развивать умение наблюдать, сравнивать, обобщать, анализировать математические ситуации.
  • Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, работа поискового характера.
  • Заинтересовать учеников в решении нестандартных показательных уравнений и систем уравнений для подготовки к ЕГЭ.
  • Побуждать учащихся к самоконтролю, взаимоконтролю самоанализу своей деятельности.
  • Учить детей выдвигать гипотезы и находить правильные решения.
  • Развивать логико-математическую речь.
  • Создание творческого микроклимата на уроке.

Использованные организационные формы при обучении:

  • Индивидуальная.
  • Дифференцированная.
  • Групповая.
  • Коллективная.
  • Фронтальная.

Использованные методические приёмы:

  • Адекватность данного урока и подбор выбранных заданий.
  • Обоснованность места использования курса лекций “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики” (дистанционные курсы в Педагогическом университете “Первое сентября”.
  • Эффективность использования приёма – применение знаний по теме: “Показательные уравнения” при сдаче ЕГЭ.

Психолого-педагогическая характеристика 11 класса.

В классе 11 человек: 4 мальчика и 7 девочек.

Темп умственной работы у большинства учащихся средний.

Период наибольшей продуктивности – начало урока. Класс по умственным способностям средний. Трое учащихся имеют заключение ПМПК о нарушении устной и письменной речи. После диагностики: “Ведущий вид репрезентативной системы” детей психологом, выявлено, что в классе –

- кинестетик (через чувства, ощущения) – 4 ученика (Коробенко Люба, Лунюшкина Таня, Синькова Света, Уськов Володя).

- аудиал (слух) – 1 ученик (Грибова Лена).

- аудиал, кинестетик – 2 ученика (Васильев Серёжа, Кетруш Виорика).

В связи с этим даются дифференцированные задания с учетом особенностей личности ученика.

Исходя из особенностей данного класса, целесообразно на уроке обеспечивать самостоятельную познавательную активность учащихся, поиск нестандартных способов достижения целей в сочетании индивидуальной, групповой форм работы с другими формами.

Анализ интереса учащихся к теме.

После урока был проведён опрос учащихся. Были получены интереснейшие мысли, вот некоторые из них:

- Синькова С. “Открытый урок, который прошел 18.01.07г. по алгебре был полезен для меня. Мы решали сложные уравнения, знание решений которых будем применять на ЕГЭ. Урок позволил нам расширить свои знания в области решения показательных уравнений…”.

- Коробенко Л. “…Урок для меня пошел на пользу, я узнала много нового, что пригодиться при сдаче ЕГЭ по математике…”.

- Тыдыкова Ю. “…Прошлый урок алгебры прошел в очень интересной форме обучения. Я считаю, что таких уроков нужно проводить больше, потому что они усваиваются гораздо лучше обычных и мы получаем больше знаний. Больше всего из этого урока мне понравился раздел “Изюминка”, очень познавательный. Давайте почаще решать такие примеры и проводить такие уроки…”.

- Уськов В. “…этот урок дал мне некоторые знания для сдачи экзаменов и дальнейшее понимание в области математики…”.

Юркова И. “… “Изюминки” - интереснейшая часть урока помогла нам более глубже проникнуть в изучение материала и разобраться с более сложными заданиями…”.

Показательные уравнения

Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением.

А. Дистервег

Цели:

  1. Обобщить знания и умения учащихся по применению методов решения показательных уравнений.
  2. Развивать умение наблюдать, обобщать, анализировать математические ситуации.
  3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели, работа поискового характера. Заинтересовать учеников в решении нестандартных показательных уравнений и систем уравнений для подготовки к ЕГЭ. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование: на столах у учащихся оценочные листы, карточки с заданиями теста, с заданиями для работы в группах.

Работа учащихся состоит из четырёх этапов. Итоги своей деятельности ребята фиксируют в оценочных листах.

Оценочный лист учащегося

Фамилия ____________________________________________________

Имя _________________________________________________________

№ П/п Этапы работы Достижения Количество баллов
1 Устный опрос. Воспроизведение опорных знаний  
2 Тест. Умения учащихся применять разные методы при решении показательных уравнений. (ЕГЭ В1 и В2)  
3 Работа в группах. Работа поискового характера. Умение решать нестандартные уравнения.  
4. “Изюминки”. Умение представить решение, а другим учащимся усвоить нестандартные показательные уравнения и системы уравнений  

Итоговое количество баллов ____________

Оценка ____________

Самооценка за урок зависит от суммы набранных баллов на всех этапах.

Критерии оценок:

  • “5” 13 – 17 баллов
  • “4” 11 – 12 баллов
  • “3” 8 – 10 баллов.

Предварительное домашнее задание:

Повторить определение показательного уравнения, теорему о корне, методы решения показательных уравнений. Найти “Изюминки” по теме: “Показательные уравнения” и представить решение на уроке.

План урока.

  1. Устный опрос.
  2. Тест.
  3. Работа в группах.
  4. “Изюминки”.
  5. Домашнее задание.

Оценка работы учащихся.

Работа учащихся оценивается на каждом этапе урока определенным количеством баллов. По результатам работы формируется итоговая оценка за урок.

Структура урока.

Урок начинается с вводной беседы учителя, в которой он отмечает, что сложные показательные уравнения и системы уравнений часто вызывают у учащихся старших классов значительные трудности. Поэтому нам сегодня предстоит повторить методы решения и изучив “Изюминки” научиться решать нестандартные показательные уравнения и системы уравнений.

Учитель ориентирует учеников в работе с оценочными листами.

Этап 1.

а) Определение показательного уравнения.

б) Теорема о равносильности уравнений.

в) Методы решения показательных уравнений.

Этап 2. (10 минут).

Посредством теста проверяют умения учащихся применять разные методы при решении показательных уравнений. (Задания из ЕГЭ: В1 и В2).

По окончании работы над тестом учитель открывает заранее приготовленные ответы.

Оценивается тест:

  • 1 задание – 2 балла.
  • 2 задание – 3 балла.
  • 3 задание – 3 балла.
  • 4 задание – 1 балл.

Ответ:

  • Вариант 1 - 4 2 1 1
  • Вариант 2 - 4 2 1 1
Тест. Вариант 1. Алгебра 11 класс Тест. Вариант 2. Алгебра 11 класс
1. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

7·8х+1 + 8х+3 = 71

1) 8; 2) 0; 3) 1; 4) -1.

2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

7 = 6·7х + 7

1) -1; 2) 1; 3) 0; 4) 7.

3. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

1) 17; 2) 1; 3) 16; 4) -3.

4. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

1) 4; 2) -4; 3) 1,3; 4) 3.

1. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

6·4х+2 + 4х+1 = 50

1) -1; 2) 2; 3) 50; 4) -0,5.

2. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

7 = 48·7х + 49

1) -1; 2) 2; 3) 1; 4) 50.

3. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

1) 10; 2) 1; 3) 9; 4) 8.

4. Найдите корень (или сумму корней, если их несколько) уравнения:

1) 3,8; 2) -3; 3) 1,3; 4) 2.

Этап 3. (10 минут).

Работа в группах: результаты работы каждого члена группы оцениваются консультантом по пятибалльной шкале.

Работа поискового характера.

Рассматривается умение решать показательные уравнения, содержащие модуль или однородные уравнения разных оснований.

Задания для работы в группах.

1 группа. Решить уравнение:

(Решение:

Ответ: )

2 группа. Решите уравнение: 3·16х + 2·81х = 5·36х

(Решение: 3·16х + 2·81х = 5·36х

Или 3·4 + 2·9 – 5(4·9)х = 0

3·4 + 2·9 – 5·4х·9х = 0

Получили уравнение, однородное относительно 4х и 9х. разделим обе части уравнения, например на 4, то получим .

Пусть =а, причем 0>0, то 2а2 – 5а + 3 = 0

. а2=1

, Ответ: .)

Этап 4. (10 минут). Ученики представляют свои “Изюминки” - нестандартные показательные уравнения и системы уравнений. Каждая “Изюминка” оценивается в 3 балла.

Решите уравнение: 8х – 3·4х – 3·2х+1 + 8 = 0

(Решение: 8х – 3·4х – 6·2х + 8 = 0, пусть t=2x, тогда

t2 – 5t + 4 = 0, , t1=4 t2=1

2x=4 2x=1

x=2 x=0 Ответ: 0; 2 )

2. Решите уравнение: 2х + 2 = 2cos2x.

(Решение: т.к. 2х >0 при любых х, 2х + 2 = 2х + при любых х, причем знак равенства выполняется, если х = 0. Следовательно, исходное уравнение равносильно следующей системе: , значит х = 0. Ответ: 0 .

3. Решите систему уравнений:

(Решение: складывая оба уравнения, получаем

6 + 6х·у + у2 + у·6х + 4 или (6х + у)2 = 4, 6х + у = 2, 6х + у = -2, у = 2 – 6х

Рассмотрим два случая:

1)

2) решений нет.

Ответ: (1;-4)

4. Решите систему уравнений:

(Решение: Перемножим уравнения системы, а затем разделим первое уравнение на второе. Получим:

Ответ: (2;1)

5. Решите систему уравнений:

(Решение: Используя метод подстановки, выразим из второго уравнения системы 2у, учтём, что 4у2 = (2у)2

(1 + 4·2х)2 = 4·4х + 8 или 1 + 8·2х + 16·2 – 4·2 – 8 = 0, 12·2 + 8·2х – 7 = 0

Пусть 2х = а, тогда получим квадратное уравнение

12а2 + 8а – 7 = 0

2х = 2х = -

х = -1 решений нет

2у = -1 -2-1+2 = -1-2 = -3

2у = -3, у = - Ответ: ( -1; - )

Этап 5. Итог урока.

Учитель отмечает:

- Полезен ли вам был сегодняшний урок?

- Что нового каждый из вас сегодня взял с урока?

После выполнения всех заданий консультанты выставляют итоговую оценку каждому участнику группы. Оценочные листы сдают учителю, который выставляет оценки в журнал.

После подведения итогов, учитель даёт задание на дом:

№ 1386, 1388 (из учебника) и продолжить подбор “Изюминок” по ЕГЭ.

Приложение.