Эффективная методика преподавания темы "Иррационалные уравнения"

Разделы: Математика


Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Такие задачи постоянно предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

Одна фраза: “ Решаем задания с параметром” приводит учеников в уныние. Дети боятся таких примеров, т.к. не только не умеет их решать, но даже не всегда понимают приведенное готовое решение. И научить их решать абсолютно все задания такого содержания невозможно. Нет алгоритма, который позволит найти подход к каждому заданию. Мы, учителя можем подсказать пути и методы рассмотрения ситуаций, возникающих при решении задач с параметрами в той или иной теме. Но невозможно предвидеть все ситуации, которые могут возникнуть при решении примера. Кажется, рассмотрел все случаи, дети поняли и даже начинают самостоятельно искать решение. Но стоит только чуть иначе поставить вопрос в том же самом примере, и ученики теряются.

Я включаю задания с параметрами во все темы, начиная с 8класса. Беру сначала самые простые задания в теме “Линейные уравнения”, потом возвращаюсь к параметрам в “Линейных неравенствах”. Конечно, моё объяснение понимают не все. Но из 15 учеников 5-7 человек слушают заинтересованно, отвечают на мои вопросы, правильно решают заданный на дом пример. Это объективная картина. Ведь даже по статистике, лишь 2% учеников являются талантливыми, а для решения уравнений и неравенств с параметром нужен математический талант. Но, постепенно привыкая к таким примерам, рассматривая задания в каждой из изучаемых тем, к концу 11 класса многие ученики пытаются и решают подобные примеры.

Как правило, эти задания я рассматриваю на факультативных занятиях. Элективный курс “Решение нестандартных задач” строю, как общение с талантливыми учениками, умеющими анализировать и применять известные методы решения иррациональных уравнений в примерах с параметрами.

Начнем рассмотрение этих уравнений с простого задания.

Пример 1

Решить уравнение

Решение.

Если то обе части уравнения можно возвести в квадрат. Тогда, x=a2, при a<0 получается неверное равенство, т.к. левая часть неотрицательное число, а правая - отрицательное, тогда .

Ответ:

Пример 2.

Решить уравнение

Решение.

Пример 3

Эти корни будут удовлетворять при дополнительном условии a >= 3/4 (подкоренное выражение неотрицательно).

Пример 4

Пример 5

Пример 6

Пример 7

Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение.

Решить уравнение.

Решение.

Уединим корень с параметром и построим графики функций левой и правой части.

Пример 8

Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет решение.