"Межпредметная связь" (Методические указания математики на уроках физики)

Разделы: Физика


Интеграция физики и математики не ставится под сомнение: физические законы выражаются математическими формулами, формулы и действия используются при выводе следствий из законов физики, решения задач, выполнение лабораторных работ.

В физике математический метод служит одним из главных методов исследования явлений, поэтому мы рассмотрим согласование изучаемых вопросов по времени, понятие функциональной зависимости, решение задач.

Правила приближенных вычислений требуется выполнять с VII класса (округление чисел, стандартный вид записи) введенные ранее, но запись чисел в форме k?10n на начало изучения физики учащимися неизвестна.

С понятием вектора учащиеся сталкиваются впервые в VII классе при изучении скорости и силы, в математике вводится во втором полугодии в 9 классе и изучаются действия над векторами “Геометрия 7-9” авторы Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов.

Физические закономерности записываются в школе главным образом аналитически с помощью формул, поэтому часто обучающиеся воспринимают функциональную зависимость формально. Графический способ по сравнению с аналитическим обладает значительными преимуществами: график показывает ход физической закономерности, наглядно раскрывает динамику процесса.

Для формирования понятия производной, вводимой во втором полугодии 10 класса по учебнику “Алгебра и начала анализа 10-11” А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, важны конкретные знания, наглядные образы изменения какой-либо переменной величины: скорость в данный момент времени, ускорение, закон электромагнитной индукции.

Интеграция физики с математикой положительно влияют и на знания по математике. Учебный предмет математики, как и сама математическая наука, отличается от других предметов высоким уровнем абстракции. Абстрагирование позволяет более глубоко полно и четко изучать объективные закономерности, существующие в природе, более рационально и экономно их выражать, но тот факт, что математические положения отражают реально существующие закономерности, может быть понятны учащимся при изучении естественных наук.

Связь курсов физики и математики глубоко идейная, поскольку в физике математический метод служит одним из главных методов исследования явлений. Последовательно обеспечить временную межпредметную связь физики с математикой (как и с другими предметами) довольно сложно, так как в каждой дисциплине должна быть сохранена логика науки, которая в свою очередь обуславливает определенную последовательность учебного материала.

Для удобства преподавания физики в разных классах предложим отобранный материал по математике (5,6 класс), алгебре (7–10 класс). Используя этот материал, при подготовке к урокам по физике, можно уже уверенно опираться на знания учащихся по математике.

МАТЕМАТИКА - 5 класс

Уравнение

Равенство, содержащее неизвестное число, называют уравнением. Найденное значение неизвестного числа называют корнем уравнения.

х+2 =5,

х =5-2,

х =3

3-корень уравнения.

Деление

Если х•в = a, то х = a :в. Если в:х = a, то х =в: a.

Площади

Чтобы найти площадь прямоугольника, надо его длину умножить на ширину.

S = а в , где S – площадь, а – длина, в – ширина

Площадь измеряется в см2, м2 и т.д.

Объемы

Для измерения объемов применяют единицы: см3, дм3, м3, км3 и т.д.

Чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, надо его длину умножить на ширину и на высоту.

V=a•в•с, где V – объем, a – длина, в – ширина, с – высота

МАТЕМАТИКА - 6 класс

Координатная прямая

Чтобы определить положение точки на прямой по отношению к началу отсчета – точке О, недостаточно указать только расстояние, надо еще указать, по какую сторону от точки О она находится.

Чаще всего такую прямую изображают горизонтально. Справа от начала отсчета пишут числа 1, 2, 3,…, а слева – числа -1, -2, -3,…

Направление вправо от точки О считают положительным, а влево – отрицательным.

Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки.

Модуль числа

Числу –6 на координатной прямой соответствует точка М(-6). Расстояние от начала отсчета до точки равно 6 единичным отрезкам. Число 6 называют модулем числа -6.

|-6| = 6.

Равенство: Для любых чисел ? и в верно равенство ??в=в?? .

Перенос: Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки.

Степень

Выражение 103 называют степенью, число 3 – показателем степени, а число 10 – основанием степени.

103 = 10•10•10.

Пропорции

Равенство двух отношений называют пропорцией.

a:в = с:d или

a и d называют крайними членами, а числа в и ссредними членами пропорции.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

аd = вс.

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции будут верны.

Деление на 10, 100, 1000 и т.д.

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на 1, 2, 3 и т.д. цифры.

Длина окружности

l =2r, где 3,14, r-радиус окружности.

Площадь круга

S = r2, r – радиус круга.

АЛГЕБРА - 7 класс

Свойства действий над числами

1) а+в = в+а, а•в = в•а .

2) (а+в) + с = а + (в+с), (а•в)•с = а•(в•с).

3) а•(в+с) = а•в + а•с.

Уравнение с одной переменной

1) Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильно данному:

х2 = 4, х2- 4 = 0.

2) Уравнение вида ах =в, где х – переменная, а и в – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной. а 0.

Функции и их графики

S=а2

Переменная а, значения которой выбираются произвольно, называют независимой

переменной, а переменную S , значения которой определяются выбранными значениями а, - зависимой переменной.

Зависимость одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или функцией.

Независимую переменную иначе называют аргументом, а зависимую переменную – функцией от этого аргумента.

Прямая пропорциональность

Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх, где х – независимая переменная, k – не равное нулю число.

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Например: у = 0,5х

Степень и ее свойства

1) аnаm = аn+m

аmаn = аm+n

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

2) аm:аn = аm-n, а 0, m > n.

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Степень числа ? не равного нулю, с нулевым показателем равна единице.

а0 =1.

3) (а•в)n = аn•вn.

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

4) (аm)n = аmn.

При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.

Абсолютная погрешность

Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль разности точного и приближенного значения.

Например:

2,3-2,25 = 0,05

х =2,25

х 2,3.

Относительная погрешность

Относительной погрешностью приближенного значения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения.

Например: х =14,7, т.е. х 15

|-0,02| = 0,02 = 2%

Относительную погрешность принято выражать в процентах.

Квадрат суммы и квадрат разности

1) (a +в)2 = (a +в)•( a +в) = a 2 + 2 a в + в2

2) (a -в)2 = (a -в)•( a -в) = a 2 - 2 a в + в2

Разность квадратов

(a -в)•( a +в) = a 2 - в2

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

АЛГЕБРА - 8 класс

Основные свойства дроби

Свойство, выраженное тождеством , называют основным свойством дроби.

Поменяв левую и правую части, получим

В левой части можно сократить дробь на общий множитель с числителя и знаменателя.

Если изменить знак числителя (или знак знаменателя) дроби и знак перед дробью, то получим выражение, тождественно равное данному

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

, с 0

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же

.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Умножение дробей. Возведение дроби в степень.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и первое произведение записать числителем, а второе знаменателем дроби.

, в 0, d 0.

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй – в знаменателе дроби.

.

Деление дробей

При делении обыкновенных дробей первую дробь умножают на дробь, обратную второй.

Функция у= и ее график

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задавать формулой вида у =, где х – независимая переменная и k – не равное нулю число.

график функции - гипербола

Квадратные корни

Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

При а<0 выражение не имеет смысла, т.к. квадрат любого числа не отрицателен.

Квадратный корень из произведения и дроби

1) Если а0 и в0, то .

2) Если а0 и в>0, то.

Квадратный корень из степени

При любом значении х верно равенство

Пример: .

Решение квадратных уравнений

ах2 + вх + с = 0

Дискриминант квадратного уравнения D = в2 - 4ас.

1) Если D>0, то уравнение имеет два корня.

2) Если D=0, то уравнение имеет один корень.

3) Если D<0, то уравнение не имеет корней.

АЛГЕБРА - 9 класс

Тригонометрические функции любого угла

a 00 300 450 600 900
sin a 0 1
cos a 1 0
tg a 0 1 -
ctg a - 1 0

Синус, тангенс и котангенс является нечетными функциями, а косинус является четной функцией.

sin(-a) = -sin a

cos(-a) = cosa

tg(-a) = -tg a

ctg(-a) = -ctga

Радианная мера угла

Углы измеряются в градусах, минутах, секундах.

10 = 60' ;

1' = 60" ;

1' = (1/60)0 ;

1" = (1/60)' .

Используются также единица измерения углов называемая радианом.

Углом в один радиан называют центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

1800 = рад 1рад = 1800/
10 = 0,017рад 1рад = 570

Основные тригонометрические формулы

sin2 a + cos2 a =1; sin a = ; соs a =; tg a = ; ctg a = ; tg a ·ctg a =1; 1+ tg2 a = ; 1+ ctg2 a =

Формулы приведения

х + a - a 2+ a 2- a /2+ a /2- a 3/2+ a 3/2- a
sinx -sin a sin a sin a -sin a cos a cos a -cos a -cos a
cosx -cos a -cos a cos a cos a -sin a sin a sin a -sin a
tgx tg a -tg a tg a -tg a -ctg a ctg a -ctg a ctg a
ctgx ctg a -ctg a ctg a -ctg a -tg a tg a -tg a tg a

Формулы сложения

cos(a -) = cos a ·cos + sin a ·sin

cos(a +) = cos a ·cos - sin a ·sin

sin(a +) = sin a ·cos + cos a ·sin

sin(a -) = sin a ·cos - cos a ·sin

Формулы двойного угла

sin2 a = 2sin a ·cos a

cos2 a = cos2 a - sin2 a

tg2 a =

АЛГЕБРА - 10 класс

Правила вычисления производных

1) Производная суммы равна сумме производных: (u +)' = u' + '

2) (u·)' = u'· + u·'

3) Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (Сu)' = Сu'

4)

5) (хn)' = nхn -1

Производные тригонометрических функций

1) (sinx)' = cosx

2) (cosx)' = - sinx

3) (tgx)' =

4) (ctgx)' = -