Развитие творческих способностей обучающихся через организацию исследовательской деятельности на уроках математики

Разделы: Математика


Организацию исследовательской деятельности обучающихся предлагаю рассмотреть на примере двух уроков: урока алгебры в 8 классе и уроке геометрии в 11 классе

Урок алгебры в 8 классе.

Тема урока: «Сложение алгебраических дробей».

Цель урока: организовать разработку учениками собственных версий сложения алгебраических дробей. Создать условия для формирования:

  1. навыков прогнозирования результатов своей деятельности;
  2. рефлексивных способностей по осознанию применяемых способов исследования данной проблемы.

Цели урока содержат направленность на все три основные виды деятельности:

  1. Креативная деятельность – получение алгоритма сложения.
  2. Когнитивная деятельность – познание метода сложения.
  3. Методологическая деятельность – планирование деятельности через создание алгоритма сложения алгебраических дробей, что позволит прогнозировать обучающимся свою деятельность.

1 этап урока – мотивация деятельности:

Мотивация осуществляется через:

  1. постановку целей деятельности;
  2. положительные эмоции, создание ситуации успеха;
  3. сочетание самооценки и оценки своей деятельности.

Мотивация связана с интересом детей. Дети заинтересованы на уровне узнавания (что это?), на уровне объяснения (почему это так?), на исследовательском уровне (как лучше сделать?).

2 этап – категоризация знаний. На уроке осуществляется ориентация на выделение всех случаев сложения алгебраических дробей.

3 этап – обогащение знаний. Идёт накопление опыта сложения алгебраических дробей и осмысление его. Причём рассмотрены вариативные задания, то есть обогащению материала способствуют задания типа: найди ошибку, проверь и обоснуй, сравните и классифицируйте, установите соответствие, установите уровень сложности, поставьте разумные вопросы, соотнесите поставленные цели урока с полученными результатами и т.д.

4 этап – перенос знаний – произойдёт на следующем уроке.

5 этап – свёртывание знаний – создание алгоритма сложения алгебраических дробей.

Методы, используемые на уроке: наглядно-индивидуальный, практически-индуктивный, практически-дедуктивный, практически-традуктивный, частично-поисковые.

На уроке должны быть прослежены:

  1. путь познания учебного материала: накопление фактов — проверка истинности — аналитическое доказательство — выход в практику.
  2. путь восприятия учебного материала:
    • подготовка к восприятию (актуализация знаний)
    • восприятие (формулирование проблемы, гипотез, поиск доказательства)
    • осмысление (формулирование алгоритма)
    • закрепление (решение задач)

Ход урока см. приложение.

Урок геометрии в 11 классе

Задачи на вписанные, описанные шары (сферы) считаются самыми сложными в курсе стереометрии. При решении этих задах обучающиеся должны показать знание сразу нескольких разделов математики: планиметрии, стереометрии, алгебры, тригонометрии, математического анализа.

Задачи на комбинацию тел вызывают у обучающихся затруднения при построении чертежа и определении зависимости радиуса описанного (вписанного) шара (сферы) от элементов многогранников и круглых тел.

Учитывая сложность этих задач, изучение темы «Вписанные и описанные многогранники» предложено изучить методом проектов группой обучающихся, увлечённых математикой.

Тема проекта: «Комбинация шара с многогранниками и круглыми телами».

Тема исследования: «Выявить зависимость радиуса описанного (вписанного) шара от элементов многогранников и круглых тел».

Одной из задач исследования было: рассмотреть взаимное расположение элементов многогранников и круглых тел, вписанных в шар, построив сечение шара плоскостью большого круга, проведённой перпендикулярно плоскостям оснований вписанных тел.

В ходе рассмотрения возникла необходимость доказательства того, что сечения для пирамиды, призмы, цилиндра, конуса являются частными случаями сечений для усечённого конуса и усечённой пирамиды.

Используя доказанное, что общий вид сечения – это сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды, появилась возможность вывода обобщённой формулы для определения величины радиуса шара, описанного около многогранников и круглых тел.

Так как обобщённая формула радиуса описанного шара облегчает решения многих задач на комбинацию тел, возникла необходимость рассмотрения вывода её на уроке геометрии в 11 классе.

Цель урока: вывести обобщённую формулу радиуса описанного шара около многогранников и круглых тел через организацию исследовательской деятельности обучающихся на уроке. 

Ход урока.

I. Актуализация знаний, необходимых для достижения цели урока.

Выяснить:

  1. Около любого ли многогранника и круглого тела можно описать шар?
  2. Где расположен центр шара, описанного около призмы, пирамиды, конуса, цилиндра, усечённого конуса, усечённой пирамиды?

II. Формулирование проблем, гипотезы, доказательства.

  1. Построить сечения пирамиды, вписанных в шар, плоскостью большого круга, проведённой перпендикулярно плоскостям оснований вписанных тел.
  2. Сравнить сечения, установить сходства и различия их.
  3. Распределить сечения по группам, выделяя в них сходственные признаки.
  4. Показать, что сечения для пирамиды, призмы, цилиндра, конуса являются частными случаями сечений для усечённого конуса и усечённой пирамиды.

Действительно, в сечениях получили большой круг. Хорды этого круга изображают диаметры кругов, описанных около оснований призмы и цилиндра, пирамиды и конуса, усечённого конуса и усечённой пирамиды.

Для конуса и пирамиды


Рисунок 1

Для цилиндра и призмы

Рисунок 2

Для усечённого конуса и усечённой пирамиды

Рисунок 3

На рис.3 NM – высота усечённого конуса или усечённой пирамиды. Изменяясь, NMдостигнет величины отрезка ME, тогда CN = ND станет равной нулю, а сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды примет вид сечения для конуса и пирамиды. (рис.1).

Изменение высоты NM может привести к равенству радиусов AM=MB=CN=ND, высота остаётся больше нуля, но меньше диаметра шара. В этом случае сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды примет вид сечения для цилиндра и призмы. (рис. 2).

5. Гипотеза:

Используя общий вид сечения – сечение для усечённого конуса и усечённой пирамиды, вывести обобщённую формулу для определения величины радиуса шара, описанного около данных тел.

Пусть EN=x, NF=y, MN=H, AM=MB=a, CN=ND=b, радиус шара.

  1. Рассмотрим ∆EAF- прямоугольный (так как A опирается на дугу в 180°, то он равен 90°).
  2. Высота, проведённая из вершины прямого угла, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу, то есть.
  3. =(x+H) ·(y-H)
  4. Аналогично: из прямоугольного ∆ECF
  1. Найдём x, y из системы уравнений:
      x>0

x=+y=+h=, a>b

Чтобы найти радиус шара, описанного около конуса и пирамиды, полагаем в формуле h b=0, тогда h=или h=

– образующая конуса или длина бокового ребра пирамиды. Чтобы найти радиус шара, описанного около цилиндра и призмы, полагаем a=b, тогда h=

Предложенный способ решения задач на вычисление величины радиуса шара, описанного около круглых тел, призм и пирамид прост и понятен.
Применение выведенных формул ускоряет процесс решения задач на комбинацию шара с многогранниками и круглыми телами.