В школьном курсе математики впервые с простейшими преобразованиями графиков учащиеся знакомятся в 7 классе на уроках алгебры при изучении темы “Взаимное расположение графиков функций”. На тот момент ученики рассматривают взаимное расположение графиков прямой пропорциональности и линейной функции. В случае, если угловые коэффициенты прямых одинаковы, то графики параллельны друг другу и этот факт учащиеся и используют. Затем в 9 классе на уроках алгебры изучается построение графика квадратичной функции. С помощью преобразований строятся параболы, задаваемые уравнениями у = х2 + n, у = (х+m)2, у = kх2, у = (х+m)2 + n. Причем каждое преобразование изучается на отдельном уроке. В результате у ребят нет целостного представления о преобразованиях, они начинают их путать. Но умение выполнять простейшие деформации графиков часто помогает при решении различных задач. Например: укажи область значений функции у = -1/3sin х +2. Достаточно представить себе график и ответ готов. При решении комбинированных уравнений так же используется функционально-графический метод. Таким образом переоценить значение этой темы в школьном курсе достаточно сложно. И при возвращении к данной теме в 10 классе часто приходится объяснять материал заново.
Я считаю целесообразным изучать все возможные преобразования графиков одновременно. Хорошо бы использовать для этого два урока в один день. Первый урок провожу в форме лекции, сразу же систематизируя и упорядочивая весь теоретический материал. При объяснении материала использую необычную терминологию, подсказки, помогающие лучше запомнить материал. А делаю это так.
Следует заметить, что для того, чтобы правильно построить график какой-либо функции, нужно сначала распознать заданные в формуле преобразования. Каждое отдельно взятое математическое действие в формуле задаёт отдельный вид преобразований. Поэтому сколько в формуле действий, столько и преобразований нужно будет выполнить над графиком элементарной функции. Например:
у = (х + 3)2 – 5
Здесь в качестве исходной функции рассматриваем у = х2. Значит, выполнили два математических действия:
- к х добавили 3
- после возведения в квадрат вычли 5.
Это означает, что над параболой у = х2 нужно будет выполнить 2 преобразования.
Другой пример: у = 2 sin(x-p
/2) + 1
Очевидно, что исходной является функция у = sin x. В формуле три математических действия:
- вычитание
/2 от х
- умножение на 2
- прибавление 1
Значит, синусоиду трижды будем преобразовывать.
Теперь разбираемся с преобразованиями. Все преобразования можно разделить на смещение или сдвиг (то, что в учебниках называют параллельным переносом) и сжатие или растяжения.
Знаки “ + ” или “ - ” в формуле задают смещение
Знак “ × ” задает сжатие либо растяжение.
Таким образом, в первом примере придётся выполнять два смещения, а во втором одно сжатие или растяжение и ещё два смещения.
Все преобразования делятся на те, которые выполняются вдоль оси Ох и те, которые выполняются вдоль оси Оу. Как ребятам разобраться вдоль какой оси выполнять преобразование? Я объясняю так: если в формуле выполняется действие только с переменной х, значит преобразование будет вдоль Ох, если же действие выполняется над всей исходной функцией, то преобразование пойдёт вдоль Оу.
Вернёмся к нашим примерам. В первом примере 3 добавляется к х, значит смещение пойдёт вдоль Ох, а вот 5 вычитается от результата возведения в квадрат ( а не только от х), поэтому данное смещение будет вдоль Оу. Во втором примере p /2 вычитаем от х, значит смещение вдоль Ох, а два других преобразования будут вдоль Оу. Вообще на самом деле чтобы разобраться с тем, вдоль какой оси выполнять то или иное преобразование, достаточно ответить на вопрос: действие в формуле выполняется с переменной х? Утвердительный ответ на данный вопрос означает преобразование вдоль этой же оси. В случае отрицательного ответа преобразования будут вдоль Оу.
Для удобства назовём ось Ох “неправильной”, а ось Оу “правильной”. Чтобы это было легче запомнить прошу детей выполнить движение головой вдоль оси Ох. Ученики, двигая головой вправо-влево, как бы показывают “нет”. Потому и назвали данную ось “неправильной”. Если выполнить движение головой вдоль оси Оу – вверх-вниз, то это как бы утверждение “да”, отсюда и название – “правильная”. Что это означает? Вдоль “правильной” оси все преобразования выполняются так, как подсказывает интуиция, а вдоль “неправильной” с точностью до наоборот, потому её и назвали “неправильная”.
Опять возвращаюсь к приведённым примерам. Мы уже выяснили, что в формуле у = (х + 3)2 – 5 заданы два преобразования, так как содержится два математических действия “ + ” и “ - ”. Оба – смещения.
+3 задаёт смещение вдоль оси Ох, так действие в формуле выполняется с переменной х. А куда хочется двигаться по этой оси когда идёт увеличение на 3? Конечно же вправо! Но ведь данную ось неслучайно назвали “неправильной”, поэтому на самом деле парабола у = х2 сдвинется на 3 единицы влево!
- 5 задаёт смещение вдоль Оу, так как 5 вычитается не из х. Если происходит уменьшение по оси Оу то куда хотелось бы переместиться? Вниз! Так и будем смещать график, так как ось Оу “правильная”!
Разберёмся со вторым примером: у = 2 sin(x-p
/2) + 1
Знаем, что здесь нужно выполнить три преобразования, так как в формуле три математических действия.
- /2 задаёт смещение вдоль
Ох, так вычитание выполняется от х. Данная
ось “неправильная”, поэтому смещение
вопреки логике произойдёт вправо на
/2.
Разберёмся с умножением на 2. Задаю вопрос: на 2 умножается только х? Нет, значит это преобразование не вдоль Ох, а вдоль Оу. А эта ось “правильная”!Умножение на два всегда означает некое увеличение величины. Очевидно, что в нашем случае нужно будет выполнить растяжение ( а не сжатие) синусоиды вдоль Оу в 2 раза.
+1 задаёт смещение. Вдоль какой оси? 1 добавляется к х? Нет, значит смещение не вдоль Ох, а вдоль Оу! А эта ось “правильная”, поэтому переместимся вдоль Оу на 1 вверх.
Напоминаю, что графики функций у = f(х) и у = - f(х) симметричны относительно оси Оу и то, что порядок выполнения преобразований не влияет на конечный результат. Неплохо бы обсудить, что никакое смещение не изменяет конфигурацию графика, а вот в случае сжатия или растяжения первоначальный график меняется.
После этого провожу закрепление. На доске выписываю различные функции, графики которых строятся с помощью преобразований, и прошу учеников прокомментировать, сколько и какие преобразования задаются в данных формулах:
- у = ½ cosх - 2
- у = 2 (х – 4)2 +3
- у = sin2х +4
- у = -3х2 – 2
- у = 3 sin(х/2 +
/4) – 1
Также обращаю внимание, что при необходимости заданную формулу иногда нужно преобразовать.
у = cos 2(x-
/2) удобнее переписать в виде у = cos
2х -
у = 1/3 sin( -х) +2 удобнее с учётом нечётности функции у = sin х переписать как у = -1/3sin х +2
На втором уроке отрабатываем практические навыки, то есть учимся реализовывать на практике все преобразования. Очень хорошо использовать на доске цветной мел, а в тетрадях цветные карандаши. Удивительно, но большинство ребят фактически сразу усваивают весь материал и стремятся строить такие графики, где нужно выполнять как можно больше преобразований. По ходу урока учащиеся совершают “открытия”: удобнее начинать со смещений, причём можно сразу же выполнить одновременно два смещения и при этом не использовать график исходной функции, а сразу же в ДПСК начертить пунктиром две вспомогательные оси и работать в новой системе координат. Тогда относительно заданной ДПСК график будет преобразованным.