Элективное занятие в 9-м классе по теме "Решение квадратных уравнений с параметрами"

Цель: повышение математической культуры учащихся в рамках школьной программы.

Задачи:

1. повторение теоретических вопросов по решению квадратных уравнений;
2. сочетание геометрической модели и аналитической (системы неравенств) при решении квадратных уравнений с параметрами.

Приложение: рисунки к занятию.

Ход занятия

I. Организационный момент: цели и задачи занятия, исходная мотивация.

II. Актуализация знаний учащихся:

1.

– возьмём два равных числа: а=b

– умножим обе части равенства на а: а²=аb

- вычтем из обеих частей b²:

a²-b²=ab-b²

(a-b)(a+b)=b(a-b)

a+b=b

a+a=b

2a=b

a=b/2,

т.е. любое число равно его половине.

Где допущена ошибка?

III. Актуализация ранее изученного материала (решение линейных уравнений с параметрами):

а²х-а=х+1

а²х-х=а+1

х(а²-1)=а+1

1. а²-1≠0
   а≠±1
   
   
   

2. а=1 х*0=2
   0=2 – неверное равенство,решений нет

3. а=-1 х*0=0
   0=0 – верно при х є R.

Ответ: при а≠±1 - единственное решение ; при а=1 - уравнение не имеет решений; при а=-1 - уравнение имеет бесконечно много решений.

IV. Практика под руководством учителя (работа с перфокартами):

I в II в

1. Не решая уравнения, определить, сколько корней оно имеет:
   2х²+5х-7=0
   4х²+4х+1=0

   1. один корень

   2. нет корней

   3. два корня

   4. бесконечно много корней

2. Решить квадратное уравнение:
   х²-6х+8=0
   х²+6х+8=0

   1. 2 и 4

   2. -2 и 4

   3. 2 и -4

   4. -2 и -4

3. Найти сумму и произведение корней уравнения:
   х²-2х-35=0
   х²-4х+3=0

   1. -2 и -35

   2. 2 и -35

   3. -4 и 3

   4. 4 и 3

4. При каком значении k уравнение:
   х²+kx-24=0
   х²+kx+15=0
   будет иметь корень, равный 3
   будет иметь корень, равный 5

   1. -5

   2. 8

   3. 5

   4. -8

V. Знакомство с новым материалом:

1. Дано уравнение (k-2)x²+2(k-1)x+k-3=0. При каких значениях k уравнение имеет:

1. два равных корня?

2. не имеет корней?

Решение:

1. k-2=0
   k=2
   0x²+2x-1=0
   2x=1
   x=1/2 – один корень

2. k≠2 , квадратное уравнение
   
   
   - два равных корня,
   - не имеет корней.

Ответ: - два равных корня; - не имеет корней.

2. При каких значениях параметра а уравнение х²-(2а+1)х+а²+а-6=0 имеет:

1. корни разных знаков?

2. два положительных корня?

Решение:

х₁+х₂=2а+1,
х₁х₂=а²+а-6

1. х₁<0, х₂>0,
   то а²+а-6<0
   а²+а-6=0
   а₁=-3 а₂=2
   -3<а<2

2. 
    
   

Ответ: при -3<а<2 - корни разных знаков, при а>2 - два положительных корня.

3. Решите уравнение х²-bx+4=0

Решение:

D=b²-16=(b-4)(b+4)

1. D>0
   
   

2. D=0
   
   

3. D<0
   -4<b<4
   уравнение корней не имеет

Ответ: при b<-4 или b>4 – два корня: , , при b=-4 или b=4 – единственный корень: , при -4<b<4 – уравнение корней не имеет.

VI. Презентация нового материала (составление сводной таблицы для решения уравнений с параметром):

(оба корня отрицательные)

(оба корня меньше числа с)

 

(оба корня положительные)

 

(оба корня больше числа с)

(число с между корнямиуравнения)

VII. Закрепление изученного материала:

1. При каких значениях а оба корня уравнения 4х²-2х+а=0 принадлежат промежутку (1;3)?

Решение:

Если два корня принадлежат промежутку (1;3), то должны выполняться условия:

 

Такого числа а не существует.

2. При каких значениях а уравнение х²-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два положительных корня?

Решение:

 

Ответ: .

3. При каких значениях а уравнение х²-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два отрицательных корня?

Решение:

Ответ: .

4. При каких значениях а уравнение х²-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два корня, каждый из которых больше 1?

Решение:

 

Ответ: .

VIII. Групповая работа:

1 группа:

1. При каких значениях а уравнение х²-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два положительных корня?

2 группа:

1. При каких значениях а уравнение х²-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два корня, каждый из которых больше 1?

3 группа:

1. При каких значениях а уравнение х²-2(а+1)х+7-3а=0 имеет два отрицательных корня?

для слабых учащихся:

( разным буквам соответствуют разные цифры )

IX. Домашнее задание:

1. При каких значениях а оба корня уравнения х²-ах-1=0 меньше 3?

Ответ: при .

2. При каких значениях а уравнение ах2-(а2+3)х+2=0 имеет корни разных знаков?

Ответ: .

3. Определить а так, чтобы один из корней был квадратом другого.

Ответ: .