Роль задач в физике огромна. Понимать физику — это значит уметь решать задачи, уметь применять теоретические знания к практическим ситуациям. Именно решение задач позволяет глубоко усвоить материал, развить логическое мышление, творческую фантазию и лучше понимать явления природы.
Очень важно в этом случае правильно и оптимально применять математические знания и приёмы. Часто сопоставить и связать отдельные темы таких предметов как физика и математика представляет для учеников проблему.
Например, такие математические понятия как функция, график функции, область определения функции и так далее учащиеся не всегда могут применять к физическим задачам.
На уроках математики решается целый ряд вопросов, тесно переплетающихся с законами, описывающими физические явления.
Успешно решать физические задачи без использования математических знаний и умений невозможно. Большинство задач требует вычисления, составления и решения уравнений, анализа функциональных зависимостей, построения и чтения графиков и так далее.
Задачи по физике можно разбить на вычислительные, качественные, графические и экспериментальные.
В настоящее время больше внимания стали уделять графическим задачам: с использованием таблиц данных; задач на определение вида функциональной зависимости; на определение по графику значения физической величины; графическое отображение зависимости одной величины от другой; анализ процессов, представленных графически.
Возможны и обратные задачи: по полученной в результате математических преобразований формуле построить график зависимости физических величин.
При чтении графиков последовательно выполняют следующие действия:
- по обозначениям на осях координат устанавливают какая пара физических величин находится в функциональной зависимости; какая величина является функцией, а какая аргументом.
- устанавливают качественно общий вид зависимости (как изменяется одна величина при изменении другой)
- устанавливают физический смысл зависимости.
Рассмотрим математический и физический подходы к одной и той же линейной функции.
y = kx + b
Например, y = 2x + 3
- Линейная функция, график — прямая.
Область определения — вся числовая прямая (D(y) = R)
Область значений — вся числовая прямая (E(y) = R)
- Так как b = 3, то график пересекает ось OY в точке (0;3)
- Так как угловой коэффициент прямой k = 2, 2 > 0, то функция возрастающая.
Угловой коэффициент k равен производной функции f в точке x0, где x0 — абсцисса точки касания. Это алгебраический смысл производной.
Угловой коэффициент k равен тангенсу угла α, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс. Это геометрический смысл производной.
k = tg α = f ' (x0) = 2
Аналогичную линейную зависимость имеет график скорости от времени v(t) при равноускоренном движении v = v0 + at, где a — ускорение, v0 — начальная скорость.
Например, v = 3 + 2t
Рассмотрим эту зависимость с момента t = 0 в осях v; t
Графически это выглядит так.
Видно, что
- Скорость является функцией, а время — аргументом. Скорость изменяется со временем линейно.
- С течением времени скорость увеличивается, значит, движение является равноускоренным с начальной скоростью 3 м/с.
- Ускорение определяется как отношение изменения скорости к промежутку времени, за которое это изменение произошло.
a = (Δv) / (Δt) = 2 м/с2
То есть геометрический смысл ускорения — это tg α, а алгебраический — это производная скорости по времени a = v ' (t)
Наглядность графического изображения даёт возможность определить скорость в любой момент времени.
На примере одной и той же линейной функции мы показали связь математического и физического подходов к понятиям функциональной зависимости.
При подготовке к ЕГЭ по математике рассмотрим задачу физического содержания на равноускоренное движение.
Задача.
При движение тела по прямой перемещение x от некоторой точки изменяется по закону
x(t) = 7t2 – 4t + 15
(t — время движения в секундах)
Найти ускорение (м/с2) тела через 3 с. после начала движения.
Решение.
1 способ (математический)
Чтобы найти ускорение, надо найти вторую производную от перемещения x'' (t)
x' (t) = v (t) = (7t2 – 4t + 15)' = 14t – 4
a (t) = v' (t) = (14t – 4)' = 14
Ответ: 14 м/с2
2 способ (физический)
Запишем общий вид зависимости x (t) для равноускоренного движения
x (t) = x0 + v0t + at2/2
Сравнивая его с данной в задаче зависимостью x(t) = 15 – 4t + 7t2, находим, что коэффициент при t2 a/2 = 7
Следовательно, a = 14 м/с2.
Вывод.
Интеграция предметов, как мы видим, ведёт учеников к осознанию необходимости приобретения знаний и умений, которыми они овладевают в процессе обучения и применения их на практике при решении конкретных задач.