Три типа простейших задач на проценты

Разделы: Математика


Цели урока:

  • Обобщить и систематизировать подходы к решению задач с процентами, показать различные приемы и способы, позволяющие быстро и эффективно решать рассматриваемые текстовые задачи.
  • Развивать устную и письменную речь.
  • Воспитывать аккуратность, дисциплинированность, самостоятельность.

Оборудование: Листы на партах с общими рекомендациями по решению задач, листы с заданиями для домашней работы, таблицы к уроку.

Ход урока

I. Организационный этап.

Сообщение целей урока и плана его проведения.

II. Этап подготовки учащихся к активному и сознательному усвоению знаний.

Выступление ученика. Что такое «процент»?

Процент – одно из математических понятий, которое часто встречается в повседневной жизни. Это слово часто произносят по радио и в телевизионных передачах. Часто можно услышать, что наше правительство приняло решение увеличить размер пенсии на 7%, родители взяли образовательный кредит в банке 60000 р. на 1 год под 12% годовых, новогодние скидки составляют 30 % и так далее. Что такое «процент»?

Слово «процент» происходит от латинских слов «pro centum», что буквально означает «со ста». Проценты дают возможность легко сравнивать между собой части целого, упрощают расчёты и поэтому очень распространены.

Широко начали использовать проценты в древнем Риме, но идея процентов возникла намного раньше – вавилонские ростовщики уже умели находить проценты (но они считали не «со ста», а «с шестидесяти», так как в Вавилоне пользовались шестидесятеричными дробями.)
Знак % произошёл благодаря опечатке. В рукописях «pro centum» часто заменяли словом «cento» (сто) и писали его сокращённо «cto». В 1685 году в Париже была напечатана книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо «cto» набрал %.

После этой ошибки многие математики стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание. Иногда применяют и более мелкие доли целого – тысячные, то есть десятые части процента. Их называют промилле (от латинского «с тысячи») и обозначают %.

Так как 1% равен сотой части величины, то вся величина равна
100%. Сотую часть центнера называют килограммом, сотую часть метра – сантиметром, сотую часть гектара – аром или соткой.

Значит 1 килограмм – 1% центнера, 1 сантиметр – 1% метра, 1 ар – 1% гектара».

1% =  = 0,01

III. Этап формирования новых умений.

В практической жизни полезно знать, связь между простейшими значениями процентов и соответствующими дробями.

Проценты 5% 10% 12,5% 20% 25% 40% 50% 60% 75% 80%
Обыкновенные дроби
Десятичные дроби 0,05 0,01 0,125 0,2 0,25 0,4 0,5 0,6 0,75 0,8

Любое число процентов можно выразить десятичной дробью или натуральным числом.

Чтобы выразить проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100.

Чтобы выразить число в процентах, надо его умножить на 100.

В простейших задачах на проценты некоторая величина а принимается за 100% (целое), а ее часть b (правильная или неправильная) выражается числом p%

а – 100%
b – p%

В зависимости от того, что неизвестно а, b или p выделяются три типа задач на проценты.

<Приложение 1>

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти р% от числа а, надо а умножить на

b = ·а

Итак, чтобы найти процент от числа, надо это число умножить на соответствующую дробь.

2. Нахождение числа по его проценту.

Чтобы найти число по его части b, выраженной p%, надо b разделить на :

а= b :

Итак, чтобы найти число по его проценту, надо часть, соответствующую этому проценту, разделить на дробь.

Например.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Чтобы найти, сколько процентов число b составляет от а, надо сначала узнать, какую часть b составляет от а, а затем эту часть умножить на 100%.

 =

Таким образом, чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от второго, надо первое число разделить на второе и результат умножить на 100%.

Например.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача 1. [2]

Стоимость билета на спектакль – 700 рублей, детям предоставляется скидка 25 %. Сколько рублей будут стоить билеты для семьи, в которой трое взрослых и четверо детей?

Решение.

Эта задача относится к I типу.

Находим 25% от 700:

700 25% = 7000, 25 = 175 (рублей);

700 – 175 = 525 (рублей) – стоимость детского билета.

Далее, 3 700 + 4  525 = 4200 (рублей). Итак, для всей семьи билеты будут стоить 4 200 рублей.

Ответ. 4 200 рублей.

Задача 2.

Володя прочитал 234 страницы, что составляет 36% всей книги. Сколько страниц в этой книге?

Решение.

Это II тип задачи.

а – 100%, 234 – 36 %.

234: 0,36 = 23400:36 = 650 (страниц).

Ответ. В этой книге 650 страниц.

Задача 3. [3]

Для определения всхожести семян посеяли горох. Из 250 посеянных горошин взошло 170. Какой процент горошин дал всходы (процент всхожести)?

Решение.

Задача относится к III типу.

170 : 250 100 % =85 %

Ответ. Процент всхожести равен 85%.

Рассмотрим другие способы решения задач.

Задача 4. [3]

Если из 225 кг руды получается 34,2 кг меди, то каково процентное содержание меди в руде?

Решение.

Обозначив буквой х процентное содержание меди, запишем кратко условие задачи:

Если 225 кг руды – 100%, то 34,2 кг – х%

Запишем пропорцию 225 :34,2 = 100 : х.

Откуда х= 34,2100: 225, х= 15, 2%.

Ответ. Процентное содержание меди в руде 15,2%.

Задача 5. [1]

Цену товара снизили на 205, затем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ее на 10%. По сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?

Решение. Пусть х рублей- первоначальная цена товара, что соответствует 100%. Тогда после первого снижения цена товара будет х- 0,2х = 0,8х (руб.).

После второго снижения 0,8х- 0,150,8х = 0,68х (руб.),

а после третьего снижения 0,68х – 0,68х  0,1 = 0,612х (руб.). Всего цена товара снизилась на х- 0,612х = 0,388х (руб.).

Итак, х – 100%, 0,388х – y, откуда имеем y = (0,388  100%) : х=38,8%. Таким образом, первоначальную цену товара снизили всего на 38,8%.

Ответ: на 38,8%.

IV. Этап подведения итогов и информирование учащихся о домашнем задании.

Учитель подводит итоги урока и комментирует задачи домашнего выполнения. <Приложение 2>

  • Задание 1. Работа с таблицей. Составьте вопросы к задачам и решите их.
  • Задание 2. Решите задачу. При выполнении работы по математике 12% учеников класса вовсе не решили задачи, 32% решили с ошибками, остальные 14 человек решили верно. Сколько учеников было в классе?
  • Задание 3. Подготовка к ГИА- 2012. Задачи на проценты (№12).

Варианты 1- 4.

V. Рефлексия.

  • С какими типами задач на проценты вы сегодня познакомились?
  • Решение какой задачи вам понравилось? Почему?
  • Что было не понятно на уроке?
  • Какие вы задачи на проценты хотели бы решать на следующих уроках?
  • Какие еще чувства у вас возникли в процессе работы?

Литература:

  1. Г.Г. Гильмиева, Р.Г. Хамитов. Задачи с процентами. Решаем с легкостью: учебно-методическое пособие. – Казань: РИЦ «Школа», 2008.
  2. Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2012: учебно-методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион-М, 2011.
  3. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2006.