Показательные уравнения

Костик Галина Алексеевна, учитель математики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (1 МБ)

Цели урока:

Закрепить методы решения показательных уравнений с использованием свойств показательной функции, замены переменной, почленного деления, обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений.
Развивать навыки сравнительного анализа, логического мышления, умение делать обобщения и выводы.
Воспитывать сознательное отношение к учению, познавательную активность, культуру умственного труда.

Ход урока

I. Организационный момент.

Учитель формулирует тему и цели урока.

"Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить, что следуя этому методу, мы достигнем цели". (Г.Лейбниц)

II. Устный счет.

1. Решите уравнения.

А) 3=81;

Б) 0,4=0,16 ;

В) 5=125;

Г) 10=1000000.

Ответ: А) 4; Б) 2; В) 3; Г) 6.

2. Решите уравнения:

А) 5* 2=0,1^-4;

Б) 0,3* 3= ;

В) ;

Г);

Ответ:

А) 4;

Б) ;

В) ;

Г) -3.

3. Решите неравенства:

А) ;

Б) ;

В);

Г).

Д) а если изменить знак неравенства?

Ответ: А) х > 4; Б)х ? -4 В)х ? -2; Г) нет решений; Д) х - любое число.

III. Актуализация знаний.

Учитель обращает внимание учащихся на то, что показательные уравнения входят в задания ЕГЭ. Поэтому всем необходимо знать основные методы решения показательных уравнений и уметь их применять при решении более сложных уравнений (уровень С). Вспомним основные методы решения показательных уравнений (Функционально-графический метод, метод уравнивания показателей, метод введения новой переменной, метод почленного деления).

Рассмотрим конкретные примеры:

1. Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций, или каких-либо свойств функций.

Решите уравнение (11.61 а)

Построим в одной системе координат графики функций и у = 5 - х.

х	-2	-1	0	1	2
у			1	4	16

у = 5 - х

х	0	1
у	5	4

Они пересекаются в одной точке (1; 4). Это же уравнение можно решить, используя свойства функции. Так как функция возрастает, а у = 5 - х убывает, то уравнение имеет единственный корень х = 1.

Ответ: 1.

2. Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение, равносильно уравнению f(x) = g(x), где а - положительное число, отличное от 1.

Решите уравнение (12.9 а)

;

7х - 2,5 = х - 1,5;

6х =1;

х = .

Ответ: .

3. Метод введения новой переменной. С помощью удачной замены переменных некоторые показательные уравнения удается свести к алгебраическому виду, чаще всего к квадратному уравнению,(этот метод был рассмотрен на предыдущем уроке).Для его закрепления решаются более сложные задания. (12.30а) и (12.28а)

;

Пусть

;

р(t) = ;

Делители 6: 1; 2; 3; 6. р(-2) = -24 -16 +34 +6 = 0.

t	3	-4	-17	6
-2	3	-10	3	0

4. Применяются и другие методы: метод почленного деления.

Рассмотрим его на примере задания 12.37.

;

Пусть

;

- не удовлетворяет условию

;

х = 1.

Ответ: 1.

IV. Отработка навыков решения уравнений.

Решить уравнение: .

Решение:

1). Приравняв показатели, имеем

х₁ = - 1, х₂ = 3.

При этих значениях х получим соответственно - верные равенства, т.е. х = - 1 и х = 3 -корни уравнения.

Ответ: -2; -1; 3. Почему в ответе записано число -2?

Выражение в левой части уравнения представляет собой функцию, содержащую переменную, как в основании, так и в показателе степени. Для решения показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть три случая:

Когда основание степени равно 1, 0 и когда оно отлично от указанных значений.

1). Если х+3=1, т.е. х=-2, то - верное равенство; значит, х = - 2 - корень уравнения.

2). Если х + 3 = 0, т.е. х = - 3, то в правой части получаем 0 ^{- 6}, - выражение, не имеющее смысла. Поэтому х = -3 не является корнем уравнения.

V. Проверка знаний обучающихся.

Самостоятельная работа проводится на два уровня :1 вариант (уровень 3-4) решают задания 855, 857, 859,861, 863, 865,867, 869 из сборника для подготовки к ЕГЭ. 2 вариант (уровень 4-5) задания 683, 685, 687, 689, 691, 693, 695, 697.

I вариант.