Разложение разности квадратов на множители

Разделы: Математика


Цель урока: расширить знания учащихся о способах разложения многочлена на множители.

Задачи урока:
1. создать условия для актуализации ранее полученных знаний о разложении многочленов на множители;
2. способствовать приобретению навыков разложения многочленов на множители с помощью формулы a2 – b2 = (a – b)(a + b)
3. способствовать развитию познавательного интереса учащихся.
4. развивать умение анализировать, обобщать, делать выводы, развивать математическую речь учащихся (устную и письменную); формировать навыки самостоятельной работы с учебником, навыки самоконтроля, взаимоконтроля.

Тип урока: урок формирования умений и навыков.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала(самостоятельная работа).

Вариант 1.

1) Вычислите произведение чисел:

а) 97*103;
б)17,7*18,3.

2) Выполните умножение:

а) (3a – 4b)(3a + 4b);
б) (-6a – 5b)(6a –5b).

3) Упростите выражение: (2a – 3b)(2a + 3b) + 9b(b + 1).

Вариант 2.

1) Вычислите произведение чисел:

а) 104*96;
б) 15,7*16,3.

2) Выполните умножение:

а) (2b – 3a)(2b + 3a);
б) (-4a – 5b)(4a – 5b)

3) Упростите выражение: (3a – 4b)(3a + 4b) – 9b(a – 1).

III. Изучение нового материала.

В равенстве (a –b)(a + b) = a2 – b2 поменяем местами части и получим тождество a2 – b2 = (a – b)(a + b). Разность квадратов двух чисел (выражений) равна произведению разности этих чисел (выражений) и их суммы. Такое тождество называют формулой разности квадратов. Её используют для разложения на множители разности квадратов чисел или выражений.

Пример 1.

Докажем, что число 474 – 322 составное .

Используем формулу разности квадратов и получим:

474 – 322 = (472) – 322 = (472 – 32)(472 + 32).

Видно, что у данного числа есть множители 472 – 32 и 472 + 32.Поэтому такое число по определению является составным.

Пример 2.

Докажем, что число 164 – 2312 кратно 25.

Применим формулу разности квадратов и получим: 164 – 2312 = (162)2 – 2312 = 2562 – 2312 = (256 – 231)(256 + 231) = 25*487.

Так как данное число имеет делитель 25, то оно кратно 25.

Пример 3.

Сократим дробь

Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель дроби на множители. Имеем:

Пример 4.

Найдём значение выражения 1002 – 992 + 982 – 972 +…+ 22 – 12.

В приведённую сумму входят 100 чисел. Сгруппируем их последовательно попарно и используем формулу разности квадратов. Получаем:

1002 – 992 + 982 – 972 +…+ 22 – 12 = (1002 – 992) + (982 – 972) +…+ (22 – 12) = (100 – 99)(100 + 99) + (98 – 97)(98 + 97) +…+ (2 – 1)(2 + 1)= 1*199 + 1*195 +…+ 1*7 + 1*3 = 199 + 195 +…+ 7 + 3.

После группировки членов получилось 50 выражений, поэтому надо сложить 50 чисел. Каждое следующее число на 4 меньше предыдущего (т.е. числа образуют арифметическую прогрессию).

Чтобы найти сумму чисел так же сгруппируем их попарно: первое с последним, второе с предпоследним и т.д. Имеем: 199 + 195 +…+ 7 + 3=(199 + 3) + (195 + 7) +… = 202 +…+ 202*25 =5050.

Заметим, что при попарной группировке 50 чисел получилось 25 скобок и затем 25 одинаковых чисел 202.

Пример 5.

Разложим на множители выражение 25х4 – 16у2.

Представим этот двучлен в виде разности квадратов и используем формулу разности квадратов:

25х4 – 16у2 = (5х2)2 – (4у)2 = (5х2 – 4у)(5х2 + 4у).

Пример 6.

Разложим на множители квадратный трёхчлен х2 + 4х + 3.

Дополним это выражение до квадрата суммы:

Х2 + 4х + 3 = х2 + 4х + 4 –1 = (х2 + 4х + 4) – 1 = (х + 2)2 – 12

Затем применим формулу разности квадратов:

(х + 2)2 – 1 = (х + 2 – 1)(х + 2 + 1) = (х + 1)(х + 3).

Таким образом, получили х2 + 4х + 3 = (х + 1)(х + 3)

Заметим, что ранее для разложения квадратных трёхчленов использовали способ группировки членов. Представим член 4х в виде 4х = х + 3х.

Тогда имеем: х2 + 4х + 3 = х2 + х + 3х + 3 = (х2 + х) + (3х + 3) = х(х + 1) + 3(х + 1) = (х + 1)(х + 3).

Пример 7.

Разложим на множители двучлен n4 + 4.

Для разложения двучлена дополним его до квадрата суммы .Для этого прибавим и вычтем 4n2 и используем формулу разности квадратов. Получаем: n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 = (n4 + 4n2 + 4) – 4n2 = (n3 + 2)2 – (2n)2 = (n2 + 2 – 2n)(n2 + 2 – 2n) = (n2 – 2n + 2)(n2 + 2n + 2).

IV. Задание на уроке.

939(в); 940(б); 942(б, г); 943(а); 944(д); 945(в); 946(б, д); 948(в); 951(а, д); 953(а).

V. Задание на дом.

939(б, л.); 940(г, м); 942(в).

VI. Творческие задания.

1. Разложите на множители выражение:

а) х2 + 6х+ 8;
б) 8 – х –х2;
в) х2 + 14х + 48;
г) -х2 + 10х –24;
д) 4х2 + 1;
е) х4 + х2 + 1.

(Ответы: а) (х + 2)(х + 4); б) (х + 4)(2 – х); в) (х + 6)(х + 8); г) (х –4)(6 – х); д) (2х2 – 2х + 1)(2х2 + 2х + 1) (добавить и вычесть 4х2); е) (х2 – х +1)(х2 + х + 1) (добавить и вычесть х2).)

2. Докажите,что при любом натуральном n значение выражения:

а) (3n2 + 2)2 – 42 кратно 3;
б) (5n + 1)2 – 92 кратно 5;
в) (4n + 1)2 – (2n + 5)2 кратно 6;
г) (3n + 4)2 – (4n + 3)2 кратно 7.

3. Сократите алгебраическую дробь:

VII. Подведение итогов урока.