Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Отбор корней в тригонометрических уравнениях»

Разделы: Математика


Цели:

  • сформировать умения применять способы отбора корней при решении тригонометрических уравнений; совершенствовать навыки решения тригонометрических уравнений различными методами;
  • развивать познавательный интерес у учащихся, логическое мышление, интеллектуальные способности; формировать математическую речь, навыки контроля и самоконтроля;
  • воспитание самостоятельности, любознательности, трудолюбия, внимательности.

Девиз урока:

«Наука есть не только знание, но и сознание, т.е. умение пользоваться знанием как следует».
В.О. Ключевский

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование: компьютер с мультимедийным проектором, документ-камера.

Ход урока

I. Организационной момент.

II. Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Математический диктант (взаимопроверка):

  1. Записать формулу корней уравнения:
    sin x = a
    cos x = a
  2. Записать частные случаи решения уравнения:
    sin x = a
    cos x = a
  3. Записать формулу корней уравнения:
    tg x = a
    ctg x = a
  4. При каких значениях а данные уравнения не имеют корней:
    sin x = a
    cos x = a
  5. Решите уравнение и укажите его корни, принадлежащие отрезку [3π; 4π]:
    sin x = 0
    cos x = - 1

III. Актуализация знаний учащихся (устное задание группам).

  1. Назовите известные вам типы тригонометрических уравнений?
  2. Среди уравнений (1-12):
    1. 2sin2x + cos2x = =5sin x cos x
    2. sin26x + sin24x = 1
    3. cos x × sin 7x = cos 3x × sin 5x
    4. 2sin2x - 3sin x + 1 = = 0
    5. sin2x + 9 cos2x = 5sin 2x
    6. sin x + sin 5x + cos x + cos 5x = 0
    7. cos2x + 6 sin x – 6 = 0
    8. sin x - sin 2x + sin 3x - sin 4x = 0
    9. 4sin2x – 3 sin x cos x + +5cos22x = 3
    10. sin2x - sin2x = cos2x
    11. sin x + cos x = 0
    12. 3sin x + 4cos x = 5

выбрать те, которые решаются:
а) приведением к квадратному относительно sin x или cos x;
б) как однородные;
в) понижением степени;
г) с помощью формул преобразования суммы в произведение и произведения в сумму;
д) с помощью универсальной подстановки;
е) методом введения вспомогательного аргумента.

 

ответы:

а) 4;7
б) 1; 5; 9; 10; 11
в) 2
г) 3; 6; 8
д) 12
е) 12

IV. Применение полученных знаний.

Задание №1.

Найти количество корней уравнения 2sin2x + sin 2х = 2 cos2x – cos 2х удовлетворяющих неравенству 8 х2 – 65πх + 8 π2≤ 0. (Ответ: 16 корней)

Задание №2.

а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку .

Решение.

а) (один ученик у доски):

Решение:

 , a  то

Получим серии корней

б) Работа по группам:

1 группа (произвести отбор корней геометрическим способом).

Решение: б) корни уравнения изображаются точками А и В, а корни уравнения  точками C и D, промежуток  изображен жирной дугой (см. рис.). В указанном промежутке содержатся три корня уравнения: .

б) Ответ:

2 группа (произвести отбор корней функционально-графическим способом).

Решение: б) Корни, принадлежащие промежутку ., отберем по графику . Прямая (ось Ox) пересекает график в единственной точке , абсцисса которой принадлежит промежутку .

Прямая пересекает график ровно в двух точках, абсциссы которых принадлежат  (см. рис.). Так как период функции  равен , то эти абсциссы равны, соответственно, .

В промежутке .содержатся три корня:

б) Ответ:

3 группа (произвести отбор корней арифметическим способом).

Решение: б) 1) Пусть . Подставляя , получаем . Промежутку  принадлежит только .

2) Пусть  . Подставляя k,, получаем:

.

Промежутку  принадлежат только .

Промежутку  принадлежат корни:

б) Ответ:

4 группа (произвести отбор корней алгебраическим способом).

Решение: б) Отберем корни, принадлежащие промежутку .

1) Пусть  . Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку : .

2) Пусть .Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку : .

3) Пусть .

Тогда .

Корень, принадлежащий промежутку : ..

Промежутку  принадлежат корни:

б) Ответ:

Отчет групп.

Каждая группа подробно рассказывает о способах отбора корней уравнения.

V. Самостоятельное применение полученных знаний.

(каждому члену группы решить одно уравнение)

№1. а) Решить уравнение

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

№2. а) Решить уравнение

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

№3. а) Решить уравнение

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

№4. а) Решить уравнение 4

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

№5. а) Решить уравнение

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

№6. а) Решить уравнение

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

(сверка ответов учащимися из групп, которые решали одно и тоже уравнение, а также анализ ошибок при помощи документ-камеры) .

VI. Подведение итогов (рефлексия).

Ответьте на вопросы: Какими способами можно произвести отбор корней?

Какой способ вам показался легче и понятнее? Почему?

Продолжи предложение:

  1. На уроке я работал активно/пассивно
  2. Своей работой на уроке я доволен/не доволен
  3. Урок мне показался коротким/длинным
  4. За урок я не устал/устал
  5. Моё настроение стало лучше/стало хуже
  6. Материал урока мне был понятен/ не понятен, полезен/бесполезен, интересен/скучен

Оцени свою работу (оценочный лист заполняет каждый учащийся):

№ этапа Вид работы Способ проверки и оценивания Кол-во баллов, оценка
1 Математический диктант. Взаимопроверка (4 балла)  
2 Устные ответы Правильный ответ (1 балл), выставляет ученик самостоятельно  
3 Задание №1 Самопроверка (6 балла)  
4 Задание №2 Учитель (за правильное решение 2 балла)  
5 Самостоятельная работа Самопроверка (3 балла)  
Итого: От 15 баллов и выше – «5»
12–14 баллов – «4»
9–11 баллов – «3»
 

VII. Домашнее задание.

Казалось бы, рассмотрены основные типы тригонометрических уравнений, но это не значит, что, зная их, можно решить любое уравнение. Каждое задание требует творческого подхода.

Например: к какому типу относится это уравнение 5 sin 11x + 24 cos 17x = 29?

Д/З №1: решить уравнение и найти уравнение такого типа,

либо

Д/З №2: решить уравнение  при .

Презентация.