Факультативный курс "Элементы комбинаторики". 7–8-й классы

Пояснительная записка

Комбинаторика связана с задачами, в которых приходиться выбирать те или иные предметы, располагать их в определённом порядке и среди разных комбинаций отыскивать наилучшие. Такие задачи доступны для данной возрастной группы, поскольку многие из них имеют игровой характер, позволяют поддерживать постоянный интерес к различным историческим экскурсам, организовывать состязательные ситуации при их решении. Это исключает увядание интереса к математике, повышает мотивацию учения, способствует проявлению и реализации математических способностей.
Изучение данного курса способствует формированию абстрактных  представлений, развитию логического мышления, осуществлению межпредметных связей.
Курс характеризуется рациональным сочетанием логики и  наглядности, увеличивается  теоретическая значимость изучаемого материала, учащиеся овладевают приёмами аналитической деятельности при решении задач.

Изучения курса  «Элементы комбинаторики» в 7-8-ых классах общеобразовательных учреждений  рекомендуется проводить во внеурочное время, 1 раз в неделю в течение учебного года.
Учителю предоставляется право самостоятельно выбирать методические пути и приёмы преподавания данного курса.
При планировании учебных занятий следует ориентироваться не только на теоретическую подготовку учащихся, но и на организацию решения практических задач с учётом дифференциации группы и индивидуальных особенностей детей.
 Следует способствовать удовлетворению потребностей школьников, проявляющих склонности и интерес к математики.
Учителю необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых методов обучения, применять иллюстративные и эвристические методы, рационально сочетать устные и письменные виды работы. 

Программа курса «Элементы комбинаторики» состоит из трёх разделов: «Содержание программы», «Содержание знаний и умений» ,«Список литературы», «Основные понятия курса».

Раздел 1. Истоки комбинаторики (12 часов)

• Комбинаторика в древности
• Математические игры и развлечения
• Проблемы комбинаторики

Раздел 2. Элементы комбинаторики (22 часа)

• Факториал
• Перестановки
• Размещения
• Сочетания

В результате изучения курса «Элементы комбинаторики» учащиеся узнают:

• Чем занимается комбинаторика
• Что обусловило появление комбинаторики
• Этапы развития комбинаторики
• Основные проблемы комбинаторики
• Понятие алгоритма решения
• Формулы для подсчёта числа размещений, перестановок и сочетаний

Умеют:

• Вывести формулы комбинаторики
• Решать простейшие задачи с помощью этих формул

Тематическое планирование

1. Факториал

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n–факториалом и пишут
            n! = 1*2*3*…*( n–1)* n
Примерные задания

• Вычислите
• 3!                                        
• 7! – 5!
• 
• 
• 
• 

Решим некоторые:

2) 7!=1*2*3*4*5*6*7             5! = 1*2*3*4*5

Вынесем за скобки 5!       5!(6*7 – 1) = 5!*41 = 4920

3)

• Упростите выражения

        1)            2)         3)       4)  
        5)           6)        7)

Решим некоторые:
     
Учитывая, что , а , то сократи дробь и получим   

1. Приведём дроби к общему знаменателю и получим:

2. Перестановки

Пусть даны три буквы А, В, С. составим из них всевозможные комбинации. Они будут отличаться друг от друга только расположением букв и количество будет равно 6.

Комбинации из n  элементов, которые отличаются друг от друга только порядком элементов, называются перестановками.
Перестановки обозначаются символом Рn , n – число элементов, входящих в каждую перестановку.   Число перестановок вычисляется по формуле      Рn  =  n!

В нашем примере Р3  =  3! = 6.

Возможные  задачи
1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5  при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется.
2. В соревнованиях участвовало 4 команды. Сколько вариантов распределения мест между ними возможно.
3. Вычислите:
А)   
Б)
В)

3. Размещения

Пусть имеются 4 буквы А,В , С, Д. Составя все комбинации из 2 букв, получим: АВ, АС, АД, ВА, ВС, ВД, СА, СВ, СД, ДА, ДВ, ДС. Мы видим, что все полученные комбинации отличаются или буквами или порядков.
Комбинации из m элементов по n элементов, которые отличаются друг от друга или самими элементами или порядком элементов, называются размещениями.
Размещения обозначаются  или  (Можно вывести с учащимися) , т. е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению n последовательных целых чисел, из которых большее m.
В нашей задаче .

Возможные задания:

1. Вычислите:

а)
б) 
Решение:

в)        
2. Сколько двузначных чисел можно составить из пяти цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна из них не повторяется.

Решение:

3. Сколько существует вариантов распределения трёх призовых мест, если в соревновании участвуют 7 команд.

4. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2, …, 8, 9.
5. Сколько вариантов расписания можно составить на один день, если всего имеется 8 учебных предметов, а в расписание могут быть включены только три.

6. Сколько вариантов распределения 3 путёвок в санатории различного профиля можно составить для пяти претендентов.

4. Сочетания.

Сочетаниями называются всевозможные комбинации  из m элементов по n, которые отличаются друг от друга по крайней мере хотя бы одним элементом ().

Так из четырёх различных букв А, В, С, Д можно составить следующие комбинации, отличающиеся друг от друга, хотя бы одним элементом: АВ, АС, АД, ВС, ВД, СД. Значит число сочетаний из 4 элементов по равно 6. Краткая запись  

В каждой комбинации сделаем перестановки элементов:

АВ, АС, АД, ВС, ВД, СД
ВА, СА, ДА, СВ, ДВ, ДС

В результате получим размещения из 4 элементов по два, сл-но

 
В общем случае              (1)

Основное свойство сочетаний         (вывести с учениками через формулу 1)

Возможные примеры:

1. Вычислить: а)      б)
2. Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных, если в классе 30 учащихся.
3. Скольким способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствует 78 человек.
4. Найти х, если известно, что  
5. Найти х, если известно, что  
6. Сколькими способами можно заполнить лотерейный билет «5 из 36».
7. Сколькими способами можно составить дозор из трёх солдат и одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера.

Литература

1. Энциклопедия  «Аванта +», «Математика», 2003 год
2. Виленкин Н. Я. «Комбинаторика» – М.,1975.
3. Холл М. «Комбинаторика» – М., 1998