Построение графиков функций, содержащих знак модуля

Веприкова Римма Хабибулаевна, учитель математики
Зайцева Вера Васильевна, учитель информатики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (10 МБ)

Понятие модуля является одной из важнейших характеристик числа в области действительных чисел, широко применяется в различных разделах школьного курса математики, физики. К сожалению, рассмотрение задач, связанных с понятием модуля (а тем более исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля) появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы. Задачи, приведенные в статье, связанные с модулями, построением графиков функций, содержащих знак модуля, могут быть использованы на уроках, элективных курсах, факультативах или на школьных олимпиадах.

Свободное владение техникой построения таких графиков часто помогает решить многие задачи и порой является единственным средством их решения.

Цели:

формирование умений и навыков построения графиков функций, содержащих знак модуля;
создание условий для самостоятельной и творческой работы учащихся;
развитие исследовательской и познавательной деятельности учащихся.
закрепить умение строить графики функций различными способами: раскрытие знака модуля по определению, методом интервалов, путем параллельного переноса вдоль осей координат, с применением симметрии.

Задачи:

Развивающие

развитие логического мышления, познавательного интереса, творческой активности;
развитие общеучебных навыков и умений – организационных, интеллектуальных и коммуникативных.

Воспитательные

воспитание взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата, направленного на личностно-ориентированный подход к обучению и воспитанию.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

(приветствие; знакомство с темой и целями урока)

2. Устные упражнения:

1. Функция у=f(х) задана графиком, изображенном на Рисунке 1. Найдите:

область определения функции;
множество значений функции;
промежутки возрастания и убывания функции;
корни уравнения f(x)=3;
число корней уравнения f(х)= b в зависимости от b.

Рисунок 1

2. На Рисунке 2 изображены графики функций вида у=ах2+bх+с. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов а и с.

Графики

Рисунок 2

Коэффициенты

а>0, с>0; 2) а<0, с>0; 3) а<0, с<0; 4) а>0, с<0

3. Проверка домашнего задания.

№1. Постройте график функции и найдите все значения а, при которых прямая у=а имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

4. Работа по теме урока

Порешаем задания, предназначенные для отработки построения основных графиков функций, отыскания области определения функций, а также для осмысления “понятия модуля”.

Задача №1

Постройте график функции:

Решение:

Найдем область определения функции

Метод интервалов

квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вниз.

;

Ответ: график функции построен. (см. слайд № 3)

Задача №2

Постройте график функции:

Решение: так как

тогда исходную функцию можно записать:

Рассмотрим каждую функцию:

– квадратичная функция, график – парабола, ветви которой направлены вниз;

– квадратичная функция, график – парабола, ветви которой направлены вверх;

Ответ: график функции построен. (см. слайд № 4)

Задача №3

Постройте график функции:

Решение: так как

тогда исходную функцию можно записать:

Зададим таблицу:

x	-9	-8	-5	0	7
y	0	1	2	3	4

Построим график функции, с учетом ОДЗ, по точкам, заданным в таблице.

Ответ: график функции построен. (см. слайд № 5)

Задача №4

Постройте график функции:

Решение:

так как

тогда исходную функцию можно записать:

– прямая пропорциональность, график – прямая, проходящая через O(0;0)(биссектриса I координатного угла);

– кубическая парабола.

Зададим таблицу:

x	-2	-1	0	1	1,5	2
y	-8	-1	0	1		8

Построим график функции, с учетом ОДЗ, по точкам, заданным в таблице.

Ответ: график функции построен. (см. слайд № 6)

Задача №5

Постройте график функции:

Решение:

Составим таблицу со знаками раскрытия модулей:

Используя таблицу, получим:

- квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вниз; (-1;-1) координаты вершины параболы.

- квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вниз; (1;-1) координаты вершины параболы.

3. - квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вверх; (1;-1) координаты вершины параболы.

- квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вверх; (1;1) координаты вершины параболы.

Построим график функции с учетом ОДЗ.

Ответ: график функции построен. (см. слайд № 7)

Задача №6

Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра a?

Решение:

Решим уравнение графически:

Построим график функции ;

- квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вверх; (1;-4) координаты вершины параболы.

Для того, чтобы построить график у=¦х²- 2х - 3¦, необходимо часть графика функции, находящуюся в верхней полуплоскости, сохранить, а часть графика, находящуюся в нижней полуплоскости, симметрично отразить в верхнюю полуплоскость.

Ответ:

в уравнении , если