Разработка урока алгебры в 7-м классе по теме "Разложение многочлена на множители способом группировки"

1. Умственное развитие учащихся
2. Развитие познавательной и творческой деятельности
3. Развитие культуры коллективного умственного труда

1. карточки – задания;
2. плакат с эпиграфом;
3. карточки – ответы для самопроверки;
4. таблица “Мебиус”;
5. бумажные полоски;
6. клей;
7. ножницы.

Учащимся сообщается тема урока, задачи, план урока. Обратить внимание на эпиграф к уроку.

Математику не зря называют “царицей наук”, ей больше, чем какой–либо другой науке, свойственны красота, изящность, точность. Одно из замечательных качеств математики – любознательность. Постараемся доказать это на уроке. Знания не только надо иметь, но и надо уметь их показать.

Установите, истинны или ложны следующие утверждения.

1. 2х + (у – z) = 2х + у – z
2. a – (2b + 2c) = a – 2b + 2c
3. 2 (x² – 7x + 3) = 2x² – 14x + 6
4. 10a – 5b = 5 (2a – b)
5. 20x⁴y³ + 15x³y² = 5x³y² (4xy + 3)
6. 4 (7 – b) + b (7 – b) = (7 – b)(4 + b)
7. 5(x – 3) – x(3 – x) = (x – 3)(5 + x)

1. х – (–y ) + (–z) = х + у – z
2. 3a – (b + c) = 3a – b + c
3. 7 (x^{2 +} 2x – 1) = 7x² + 14x – 7
4. –18a + 9b = –9 (2a + b)
5. 12x³y² – 16x²y⁴  = 4x²y² (3x – 4y)
6. 3 (a – 7) – a (a – 7) = (a – 7)(3 – a)
7. 2(4 – y) – y(y – 4) = (y – 4)(2 + y)

1. 3a – (b – c) = 3a – b – c
2. a – (3b + 7c) = a – 3b + 7c
3. 4(x² – 3x+5) = 4x² – 12x + 20
4. 15a³b² + 25 a²b³ = 5 a²b² (3a + 5b)
5. 7b²c⁴ – 23bc⁵ = bc⁴ (7b – 23c)
6. 8 (a – 3) – a³(a – 3) = (a – 3)(8 – a²)
7. 14 (x² – 5) + x(5 – x²) = (x² – 5)(14 + x)

1. 4c – (d + 2e) = 4c – d + 2e
2. 5 – (18y + 7z) = 5 – 18y – 7z
3. a(a² – 5a + 3) = a³ – 5a² + 3a
4. 16x²y⁵ – 64x³y = 16x²y(y⁴ – 4x)
5. 34a + 17a²b = 17a (2 + ab)
6. 9(13 – 2x) + x(2x – 13) = (2x – 13)( –9 + x)
7. 15x (x – 1) – 3(x – 1) = 3(x – 1)(5x – 1)

1. 18x + (7x – y) = 25x + y
2. a – (3a – b) – (a – b) = 2b – 3a
3. 3x (4 – x + 2x²) = 12x – 3x² + 6x³
4. 50a²b – 25 ab² + 125a³b³ = 25ab (2a – b + a²b²)
5. 18x²y³z⁴ + (72x²y³z² – 9x²y³z²) = 9x²y³z²(10z – 1)
6. 13(b + 7) + 8b (–b – 7) = (b + 7) (13 – 8b)
7. 3(a – 3) – a(3 – a) + 4(3 – a) = (3 – a) (1 – a)

(САМОПРОВЕРКА, на экране отображается верное решение или цепочка “истина–ложь”)

Вопрос учителя. Какие правила были использованы вами при выполнении данного задания?

Работа в группах. Разложите на множители (ответы к заданиям закодированы).

1. ax + 2a – 3x – 6
2. 5z (x + y) – x – y
3. x (a + y) + ay + y²
4. 10ay – 5cy + 2ax – cx
5. x² – 2x – xy + 2y
6. 6cy – 15cx – 4 ay + 10ax

Ответы:

Дополнительные задания (выполняют группы, быстро выполнившие задание).

1. В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли в этой школе такой класс, в котором не менее 35 учеников?
   (Ответ. Допустим, что в каждом классе меньше 35 учеников. Тогда всех учеников было бы не более 34 ∙ 33 = 1122. Но в школе 1150 учеников. Значит, получили противоречие и в школе есть класс, в котором не меньше 35 учеников.)
2. Сумма трех различных чисел 875. Найдите эти числа, зная, что три из них получены из четвертого зачеркиванием у него одной цифры
   (Ответ. 75 +50 +750 или 71 + 73 = 731)

4. Работа с доской. Разложите многочлен на множители

ax² + cx² – cx – ax + a + c

3 (x – 2y)² – 3x + 6y

Слово учителя. У вас на столах находятся бумажные ленты, разделенные по ширине пополам пунктирной линией. Давайте склеим из них кольца. Но не как попало, а так, чтобы белая сторона ленты была склеена с цветной. /Перед склейкой перекрутите ленту один раз/. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название – лист Мебиуса. А теперь разрежьте ножницами склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Как вы думаете, что получится? Конечно, если бы мы не перекрутили ленту перед склейкой, все было бы просто: из одного широкого кольца получилось бы два узких. А что сейчас?

– Проведите эксперимент.

– Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее. К тому же перекручено оно не один раз, а два.

– А ну-ка, разрежьте это кольцо еще раз посередине. Получится два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено.

– Вот какие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из нее лист Мебиуса. У этого листа масса удивительных свойств.

Историческая справка.

(Данный материал может сообщить учитель или ученик, который накануне получил такое задание)

Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят лента Мебиуса) придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мебиус (1790–1868), ученик “короля математиков” Гаусса. Мебиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мебиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мебиуса.

Лист Мебиуса – один из объектов области математики под названием топология (по-другому “геометрия положения”). Удивительные свойства листа Мебиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятия и теоремы топологии полезны математикам почти всех специальностей. Она используется и при применении математики в технике, экономике, психологии.

1. Солдатик-перевертыш. Я вырезал бумажного солдатика и отправил его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мебиуса. И вот он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершать еще одно “круголистное” путешествие. Проверьте!
2. Приготовьте два листа Мебиуса, перед склейкой разделите ленту на четыре и пять равных полос. Разрежьте по пунктирным линиям. Что получится? Можно ли высказать какое-нибудь утверждение о поведении листа Мебиуса при отрезании от него полоски?
   Что будет, если перед склейкой перекрутить ленту дважды, а потом разрезать посередине?
   А если перед склейкой перекрутить ленту трижды?
   Можно ставить немало экспериментов по разрезанию лент. Придумайте и поставьте.