I. Пояснительная записка
Элективный курс предназначен для учащихся 11 класса, проявляющих повышенный интерес к изучению математики и собирающихся продолжить образование в учебных заведениях физико-математического и экономического профиля. Данный курс является частью подготовки к ЕГЭ, так как 3 задания являются геометрическими задачами. Планиметрия заканчивается в 9 классе, поэтому необходимо не растерять тот багаж знаний, который предоставлен программой, а более того углубить его и уметь применить. С помощью исследования геометрических задач развивается логическое мышление, пространственное воображение и ребята могут хорошо ориентироваться в жизненных ситуациях.
Цель курса: систематизация и углубление знаний учащихся о свойствах и признаках замечательных точек окружности Эйлера. Уметь выполнять задачи на построение с помощью замечательных точек. Познакомить с исторической справкой о великом математике Леонарде Эйлере.
Задачи курса
- формировать общенаучные, а также математические умения и навыки, необходимые в исследовательской деятельности и полезные в повседневной жизни.
- создать условия для формирования и развития у учащихся умения самостоятельно работать со справочной и учебной литературой, собственными конспектами и т.д.
Главное содержание исследования замечательных точек составляют ряд определений (центроид, ортоцентр, барицентр, точка Жергонна, точка Негеля), ряд теорем (о прямой, об окружности), теорема Чевы, теорема Морлея. Данный курс позволяет раскрыть взаимосвязь между 9 точками окружности Эйлера и умение применять эту взаимосвязь при решении задач.
Таким образом, в процессе изучения курса ученики осваивают новые теоретические понятия, учатся пользоваться соответствующими справочными материалами. Для учащихся, предполагающих связать свою будущую профессиональную деятельность с математикой, физикой, с экономикой, строительством необходимо развивать умственные способности в исследовательской деятельности. От учащихся требуется тщательное обдумывания каждого шага при решении задач: с какой целью это делается и достигается ли результат, а если нет, то почему?
Логическим завершением курса является индивидуальный практикум по решению задач.
Элективный курс рассчитан на 17 часов,1 час в 1 полугодии.
II. Учебно-тематический план
| № | Название темы | Количество часов | Форма проведения | Образовательный продукт | ||
| Всего | Лекции | Практика | ||||
| 1. | Введение. Исследование замечательных точек треугольника |
8 | 4 | 4 | Изучение электронного учебника. | Знание исторической справки. Конспекты, доказательство теорем |
| 2. | Прямая Эйлера. Окружность Эйлера. | 4 | 3 | 1 | Доказательство теоремы, самостоятельное решение задач. | |
| 3. | Построение треугольника по некоторым замечательным точкам | 3 | 2 | 1 | Практикум | Эвристическое построение треугольников |
| 4. | Необходимое и достаточное условие для равностороннего треугольника, используя замечательные точки. Контроль качества | 2 | - | 2 | Зачет. Игра. |
Знание теории, защита решения задачи. |
III. Содержание курса
Тема 1.
Введение.
Исследование замечательных точек треугольника (8 часа).
Историческая справка о великом математике Леонарде Эйлере, который в 13 лет стал студентом факультета искусств Базельского университета, но, любовь к математике, блестящая память и отличная работоспособность, направили его по иному пути. 8 июня 17- летний Леонард произнес по-латыни речь о сравнении философских воззрений Декарта и Ньютона, и был удостоин ученой степени магистра.
Точка пересечения биссектрис.
Определение центроида (барицентра)- точки пересечение медиан (построение).
Изогональные точки- точки, которые получаются при пересечении прямых, симметричных относительно биссектрисам углов для прямых, пересекающихся в одной точке (построение).
Определение ортоцентра-точки пересечения трех высот (построение).
Определение центра вписанного круга (построение).
Определение центра описанного круга (построение).
Решение задач.
Тема 2.
Прямая Эйлера. Окружность Эйлера (4 часа).
Доказательство теоремы прямой Эйлера.Окружность 9 замечательных точек (доказательство, геометрическая интерпретация).
Решение задач.
Тема 3.
Построение треугольника по некоторым его замечательным точкам (3 часа).
При естественных ограничениях имеется только 6 различных возможностей выбора трех точек из девяти.
1).середины сторон треугольника,
2).основания высот треугольника,
3).середины двух сторон и основание высоты , проведенной к третьей стороне,
4).середины двух сторон треугольника и основание высоты, проведенной к одной из них,
5).основания двух высот и середина третьей стороны,
6).основания двух высот и середина одной из сторон, к которой проведена одна из этих высот.
Тема 4.
Необходимое и достаточное условие для равностороннего треугольника, используя замечательные точки. Контроль качества знаний (2 часа).
Решение задач (см. приложение). Зачет.
Игра “Математический бой”.
Требования к результатам обучения.
После изучения элективного курса “Исследование свойств замечательных точек окружности Эйлера” учащиеся должны:
- знать: основные понятия данной темы, определения медианы, высоты, биссектрисы, серединных перпендикуляров, точки пересечения медиан, точки пересечения высот, точки пересечения серединных перпендикуляров, теорему Эйлера, теорему Морлея, понятие окружности Эйлера.
- уметь: строить центроид, ортоцентр, центр вписанной и описанной окружности, исследовать свойства замечательных точек и применять их к решениям задач.
- объяснять: закономерности между замечательными точками окружности Эйлера.
- понимать: важность развития логического мышления.
Литература
Журнал “Математика в школе” №5 ,2001г.,
Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. М.1986.
Коксетер Г.,Грейтцер С. Новые встречи с геометрией. Информация из Интернета.