Тема:«Систематизация и обобщение знаний по теме «Уравнение».
Класс: 6.
Учебник: Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Учеб. для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2005.
Тип урока: систематизации знаний.
Цели урока:
- Учебная задача: в ходе рассмотрения практической задачи систематизировать знания учащихся, связанные с понятием «уравнение»; построить «теорию уравнения».
- Диагностируемые цели: в результате ученик:
- знает описание понятия «уравнение» и все сопутствующие ему понятия;
- знает алгоритм решения уравнения и умеет применять его к решению конкретных уравнений;
- осознает связь уравнений с выражениями и верными математическими равенствами;
- осознает, что решение уравнений основано на свойствах чисел и арифметических операций над ними;
- осознает, что способы и приемы решения уравнений основаны на тождественных преобразованиях выражений;
- понимает существование различных видов уравнений и наличие специфических методов их решения;
- понимает, что уравнение является, по сути, предложением математического языка;
- понимает, что уравнение – это математическая модель реальных ситуаций;
- понимает, что построение такой модели может привести к получению новых знаний о данной ситуации;
- знает алгоритмы решения задач алгебраическим способом;
- имеет представление о математике и ее роли в познании мира.
Структура урока:
- Мотивационно-ориентировочная часть.
- Мотивация (необходимость привести знания в порядок).
- Постановка учебной задачи.
- Содержательная часть
- Постановка практической задачи.
- Систематизация знаний об уравнении.
- Рефлексивно-оценочная часть.
Методы обучения: беседа, частично-поисковый, наглядный.
Оборудование (средства): систематизирующая таблица, канва таблицы, мультимедийные средства.
ХОД УРОКА
– За два года изучения математики мы прошли
сложный и длинный путь, многое узнали о различный
математических понятиях, многому научились.
Многие из этих понятий изучались нами с разных
сторон, в различных аспектах и в разных темах.
Поэтому в конце года необходимо привести свои
знания в порядок. Сегодня мы рассмотрим очень
важное понятие, о котором мы много знаем и
большое количество времени посвятили его
изучению. О каком понятии идет речь, станет
понятно в дальнейшем.
– Вначале немного поговорим о математике вообще.
В пятом классе мы говорили, что математика имеет
свой язык. Математический язык – это язык чисел,
буквенных и числовых выражений, язык
геометрических чертежей. Предложения этого
языка всегда описывают какую-то ситуацию.
Поэтому мы говорим, что эти предложения являются
моделями явлений окружающего мира.
– Рассмотрим задачу. Расстояние между двумя
городами автобус преодолевает за 5,75 часа, а
автомашина, скорость которой на 10,5 км/ч больше,–
за 5 часов. Определите расстояние между городами.
– Скажите, может ли сложиться такая ситуация в
действительности? (Да).
– Таким образом данная ситуация весьма реальна.
Как может помочь математика ответить на
поставленный вопрос? Такие задачи мы решали, для
этого есть специальный метод. Как он называется? (Метод
математического моделирования)
– В чем он состоит? (Он состоит из трех этапов:
1)построение математической модели; 2) работа с
математической моделью; 3) формулирование ответа)
– Так как такие задачи уже нами решались, вы уже
можете сказать, какая математическая модель
получится? (Уравнение)
– Давайте, применив метод математического
моделирования, решим эту задачу и одновременно с
этим повторим некоторые важные вопросы,
касающиеся уравнения. В этом и будет состоять
цель нашего урока: повторить вопросы, связанные с
уравнениями и их решением, привести в порядок
наши достаточно обширные знания об этом понятии.
– Как уже было сказано, первым этапом решения
таких задач является построение математической
модели. Для этого нужно оформить условие.
1. Построение ММ
t |
v |
S |
|
| автобус | 5,75 ч | х км/ч | 5,75х км |
| машина | 5 ч | (х + 10,5) км/ч | 5(х + 10,5) км |
– Каков смысл выражений 5,75х и 5(х +
10,5)? (Они выражают расстояние между двумя
городами)
– Сравните эти выражения? (Они равны)
– Это вытекает из задачи. Запишем их равенство.
5,75х = 5(х + 10,5)
– Получили предложение математического языка,
которое описывает всю ситуацию, описанную в
задаче, то есть является математической моделью
этой задачи.
– Задач, в которых моделью выступает уравнение,
мы решили множество и еще больше разных задач и
уравнений нас ждет впереди. Большое количество
таких задач говорит о том, что ситуаций в жизни,
которые описываются уравнением, очень много.
Математика – наука, которая изучает мир с
помощью математических моделей. Поэтому она
должна знать, как с такими моделями обращаться. И
математика отвлекается от того, что конкретно
означают эти выражения, от их конкретного смысла,
и изучает их.
– Мы сказали, что моделью данной задачи является
уравнение. А что это такое? Что называется
уравнением? (Уравнение – это равенство,
содержащее неизвестное, обозначенное буквой)
– Достаточно ли для решения этой задачи только
составить уравнение? (Нет)
– Естественно, составив модель, мы использовали
всю данную нам в условии информацию, а уравнение
должно нам дать новую информацию, но для этого
надо что-то сделать, чтобы эту информацию
получить.
– В определении уравнения говорится, что
уравнение содержит неизвестное число, а
составляя уравнение по условию задачи, мы какую
величину обозначили за икс? (Скорость автобуса)
– А почему именно эту величину? (Потому что она
неизвестна и через нее удобно выразить все
остальные величины)
– Значит, какую неизвестную, но необходимую нам
информацию может дать нам уравнение? (Скорость
автобуса)
– А что для этого нужно? (Решить уравнение)
– А что это значит «решить уравнение»? (Это
значит найти все его корни или доказать, что их
нет)
– Это очень важное определение, мы об этом
говорили. Что значат слова «найти все корни»? (Что
у уравнения может быть несколько корней)
– Правильно. В 5-6 классе такие уравнения
встречались редко, но все-таки мы сталкивались с
ними. И примеры таких уравнений мы уже можем
привести.
х2 = 0,01
– Как мы рассуждали, чтобы решить такое
уравнение? (Чтобы найти неизвестное, нужно
найти все числа, которые при возведении в квадрат
дадут 0,01; например, 0,1 умноженное на 0,1 даст 0,01, но
тот же самый результат будет при умножении – 0,1
на – 0,1)
– Какие же корни имеет это уравнение? (0,1 и – 0,1)
– Знакомство с понятием модуля числа позволило
составлять еще один вид уравнений, которые имеют
не один корень.
|х | = 5
– Как мы рассуждали при решении таких уравнений? (Что
бы найти икс, нужно найти все числа, которые
находятся на расстоянии 5 единичных отрезков от
нуля. Таких чисел два: 5 и 5)
– Вернемся к определению того, что значит решить
уравнение. О чем говорят слова «доказать, что их
нет»? (Они означают, что бывают уравнения, у
которых нет корней)
– Приведем примеры таких уравнений.
|х | = – 3
– Ну а как мы решаем с уравнения, подобные тому,
которое получилось при решении задачи? (Нам
известен алгоритм решения таких уравнений)
– Решим это уравнение и назовем этапы его
решения
2. Работа с ММ
| 5,75х = 5(х + 10,5) 5,75х = 5х + 52,5 5,75х – 5х = 52,5 0,75х = 52,5 х = 52,5 : 0,75 х = 70 |
1. Раскрыть скобки, если они есть; 2. Перенести слагаемые с неизвестным в одну часть, а без неизвестного в другую; 3. Привести подобные слагаемые; 4. Разделить обе части на коэффициент при неизвестном |
– А откуда нам известно, что мы можем выполнять
такие действия, как раскрытие скобок и
приведение подобных членов? (Это операции
упрощения выражений)
– А как мы объясняли возможность выполнять
действия из пунктов 2 и 4? (Это свойства
равенств)
– Итак, знания, которые нами получены из других
тем пригодились нам при решении уравнения,
помогли обосновать шаги алгоритма.
– Вернемся к этапам решения задачи. Скажите, при
решении уравнения мы как-то использовали, то, что
данные выражения несут определенный смысл?
Нам было важно, какой смысл они несут? (Нет)
– А что это означает? А это означает, что для
решения уравнений не важно, обозначена ли через
икс скорость автобуса или какая-то другая
величина. При решении уравнений это никак не
используется. Это позволяет нам сделать два
вывода. Скажите, ответ х = 70 – это ответ
задачи? (Нет, мы только узнали, что корень этого
уравнения ?70)
– Верно. При решении уравнения мы как бы забыли,
что этот икс значит. А это означает, что после
того, как мы получили из модели какую-то
информацию, мы должны ее интерпретировать, то
есть понять, а что же такое мы получили. Поэтому
при решении задач методом математического
моделирования необходим третий этап – это
первый вывод.
3. Формулировка ответа.
70 км/ч скорость автобуса
S = vавтtавт
S = 5,75 – 70 = 402,5 (км)
Ответ: 402,5 км расстояние между городами
– А какой второй вывод? Скажите, а данное
уравнение может быть моделью для другой задачи? (Да)
– То есть, можно встретить задачи, где ситуация
совершенно другая, а модель получается такая же.
Именно по этому, изучая уравнение, математика не
обращает внимания на то, какой практический
смысл несет это уравнение, что обозначает
неизвестное и т.д. Поэтому, с одной стороны, нужно
уметь просто решать уравнения, а с другой, нужно
уметь применять уравнения для решения
практических задач.
– Посмотрите на уравнение модель к задаче.
Поле выполнения пунктов 1-3 получилось уравнение
0,75х = 52,5, а мы встречали ситуации, когда
выполнить пункт 4 нельзя. Такая ситуация может
возникнуть, если при приведении подобных
слагаемых с икс получается 0.
Например:
0 . х = 52,5
– Как быть здесь? Как мы рассуждаем в таком
случае? (В этом случае икс – это число при
умножении на ноль дает 52,5, а такого не может быть,
так как при умножении на ноль любого числа будет
ноль, значит, это уравнение не имеет корней)
– Таким образом, это еще один вид уравнений,
которые не имеют корней. И если в других примерах
мы использовали необычные операции, модуль или
возведение в квадрат, то тут это может получиться
из привычного для нас уравнения.
– А если получится
0 – х = 0?
– Как быть тут? (При умножении какого-то числа
на ноль всегда будет ноль, значит, вместо икс
можно взять любое число. Значит, любое число –
корень такого уравнения)
– А откуда мы знаем, что при умножении на ноль
получается именно так? (Это известно из свойств
чисел)
– Подведем итоги. Посмотрим, что мы с вами
сделали. Мы стали решать практическую задачу.
Перевели ее условие на математический язык и
получили математический объект – уравнение.
Выяснили, что это такое, что значит решить
уравнение. Рассмотрели особые случаи уравнений,
когда корней или 2 корня, бесконечно много
корней или вообще нет. А далее применив уравнение
как инструмент, решили задачу.
– Так зачем математика изучает уравнения?
– Из каких этапов состоит решение задач методом
математического моделирования?
– Какие другие вопросы математики помогли нам
решать уравнения, знания каких областей мы
использовали?