Цели урока:
- Учебные
- повторить уже известные сведения о правильных многоугольниках (определения, свойства, зависимость между элементами);
- показать взаимосвязь между элементами правильных многоугольников вписанных в одну окружность и описанных около одной окружности;
- научить решать задачи с использованием данных формул и выведением новых формул;
- повторить построение правильного треугольника, четырехугольника, шестиугольника с помощью циркуля и линейки;
- научить решать задачи по теме (от простейших, для которых достаточно использование одной формулы, до более сложных, требующих преобразований и решения уравнений)
- Воспитательные
- показать учащимся связь времен (прошлого и настоящего);
- показать связь наук (истории и математики);
- показать практическое применение геометрии;
- создать комфортную, здоровье сберегающую атмосферу на уроке;
- показать творчество учащихся, их артистизм;
- научить работать в диалоге, взаимопомощи при решении задач и обсуждении проблем;
- развивать надпредметные умения и навыки.
Организация урока:
- Доска (можно использовать интерактивную доску с проектором) с заранее подготовленными чертежами;
- Раздаточный материал
- Двое учащихся в ролях Пифагора и его ученика (можно в соответствующих тому времени одеждах)
- Один ученик для чтения (выступления) биографической справки.
Вступление
Теплый летний день, на берегу моря сидит Пифагор, глядит на спокойное море (нарисованное на доске), и говорит.
Пифагор:
Сижу я у моря и думаю, в чем гармония мира,
Как просчитать порядок жизни людской, устройства
страны.
Числа, фигуры, постройки, деревья, зверьё, человек
– все воедино
Связаны цепью событий. Природа всевластна над
нами.
Мы ж постигаем священный союз Вселенной и
собственных
Душ. Настоящий философ – тот, чьи мысли чисты и
полон
Силой любви бескорыстной к сущим творениям
божьим.
Ученик Пифагора:
Извините, Учитель, что я прерву Ваши думы. Я рассматривал те фигуры, что Вы нарисовали на песке, и нашел некоторую закономерность. Послушайте, возможны только три случая покрытия плоскости правильными многоугольниками: вокруг одной точки на плоскости можно плотно уложить либо 6 правильных треугольников, либо 4 правильных четырехугольника, либо 3 правильных шестиугольника. Получилось интересное отношение количества фигур 6 : 4 : 3 и сторон 3 : 4 : 6.
Пифагор:
Да, Ученик, во всем мире явления подчинены определенным числовым соотношениям, есть космическая гармония, элементы чисел являются элементами всех вещей и вся Вселенная является гармонией и числом.
Учитель математики:
Добрый день. Кто вы, рассуждающие о геометрии и гармонии?
Пифагор:
Я – Пифагор, это мой ученик, а это моя школа.
(Показывает на класс учащихся)
Краткая биографическая справка: (читает один из учащихся класса)
ПИФАГОР
Греческий философ с острова Самос, основатель
пифагорейской школы, ученик Ферекида Сиросского,
испытал воздействие Анаксимандра и Фалеса. Хотя
в историчности личности Пифагора сомневаться
невозможно, даже ранние источники полны
противоречий.
По некоторым данным он родился около 580 года до
новой эры на острове Самос, расположенном у самых
берегов Малой Азии. Совсем юным Пифагор покинул
Самос. Он поставил себе цель – найти путь,
ведущий к свету истины, то есть познать жизнь в
единстве. С этой целью Пифагор посетил весь
древний мир, расширяя свой кругозор, изучая все
религии, доктрины и культы. На Самосе он осуждал
правление тирана Поликрата, уехав, совершил
путешествие в Египет, Финикию, Сирию, Азию, Африку,
Хиндустан и Вавилон. В Кротоне, в Южной Италии, он
нашел вторую родину. Там он основал свою школу,
религиозно- философское братство, передавая свое
учение группе избранных учеников, пытался
применить его к воспитанию юношества и жизни
государства, идеал устройства которого состоял в
гармонии и был чужд олигархии.
Судьба его и его школы имела печальный конец.
Пифагор со своими учениками был вынужден бежать
из Кротона. В городе Метапонте, будучи
восьмидесятилетнем старцем, Пифагор погиб в
стычке со своими противниками.
Уже при жизни Пифагора чрезвычайно почитали. С
его изображениями в Абдерах выпускались монеты в
430-420 годах до н. э. Пифагор был первым
представителем философского идеализма в
греческой философии.
В области математики ему приписывается
систематическое введение доказательств в
геометрию, построение планиметрии прямолинейных
фигур, создание учения о подобии,
доказательство теоремы, носящей его имя,
построения некоторых правильных
многоугольников и многогранников, решение задач
на построение с помощью циркуля и линейки. А
также учение о четных и нечетных, простых и
составных, о фигурных, совершенных и
дружественных числах, об арифметических,
геометрических и гармонических пропорциях.
Вокруг личности Пифагора создалось столько
легенд, что трудно судить, что в них отчасти
соответствует действительности и что является
вымыслом.
Именем Пифагора назван кратер на видимой стороне
Луны.
Учитель математики:
Что же такое правильные многоугольники? Почему обычный треугольник не является правильным, и что такого неправильного в ромбе или прямоугольнике (изображает фигуры на доске), а вот пятиугольник – красивый флажок.
Пифагор:
На эти простые вопросы Вам ответят мои ученики (показывает на класс), я же пойду размышлять о мире и политике. (Уходит.)
Ученик Пифагора:
Друзья, (обращается к классу) помогите несведущей женщине разобраться в тайнах нашей науки. Вы же, (к учителю математики) внимайте речам, задавайте вопросы, в беседе научной познаете мудрость, получите удовольствие.
ХОД УРОКА
Учебный диалог. Фронтально-индивидуальная работа. Каждый может ответить на вопрос, каждый может выйти к доске. Атмосфера демократичная. Учитель – координатор учебного процесса. Ученики – главные действующие лица и исполнители.
Учитель математики:
– Что такое правильные многоугольники?
– Являются ли они выпуклыми?
– Можно ли около правильных многоугольников
описать окружность?
– Можно ли в правильный многоугольник вписать
окружность?
– Помогите мне построить правильный треугольник,
четырехугольник, шестиугольник.
– Как построить правильный треугольник? (один из
учеников показывает построение на доске, а
остальные комментируют его действия)
– Как построить правильный четырехугольник? (один
из учеников показывает построение на доске, а
остальные комментируют его действия)
– Как построить правильный шестиугольник? (один
из учеников показывает построение на доске, а
остальные комментируют его действия)
– Чему равны их внутренние и внешние углы.
– Каковы отношения между сторонами, радиусами
вписанной и описанной окружностей для этих фигур?
– Как лучше обозначить стороны правильных
многоугольников?
– Выразите радиусы вписанной и описанной
окружностей через сторону каждого из
нарисованных правильных многоугольников.
– Как найти периметр и площадь.
– Как найти длину окружности и площади круга?
– Какой из радиусов надо подставить в эти
формулы, если я хочу найти площадь вписанного
круга? Или длину описанной окружности?
– Как найти длину дуги окружности и площади
кругового сектора?
– Можно ли находить длину дуги между вершинами
как часть окружности?
– Можно ли получить площадь сектора как часть
круга?
(Получив ответ на каждый из вопросов, учитель выполняет соответствующие чертежи и надписи на доске).
Все выводы формул записаны в «шпаргалку».
– Спасибо большое, дорогие юные мудрецы.
– Перед тем как приступить к выполнению
письменной работы сделаем упражнение для глаз.
Проведите взглядом по контурам каждого
нарисованного многоугольника и круга.
(Учитель математики обводит цветным мелом каждую построенную фигуру.) А теперь попробуйте сделать это с закрытыми глазами.
Пока у учащихся закрыты глаза, учитель вносит «добавки» на чертежи.
Задачи к уроку
Как по данному чертежу найти периметр квадрата, если дана сторона описанного шестиугольника? Запишем цепочку: a6 ––> P4 Надо вставить в нее пропущенные звенья. – Чем связаны правильный шестиугольник и квадрат? (Одной окружностью) – Какой является эта окружность для шестиугольника, а какова она для квадрата? (Для 6-угольника – вписанная, для 4-угольника – описанная) a6 ––> r6 = R4 ––> a4 ––> P4 Данную задачу можно решить в три действия:
|
Как по данному чертежу найти площадь треугольника, если дана сторона вписанного четырехугольника? Запишем цепочку: a4 ––> S3 Надо вставить в нее пропущенные звенья. – Чем связаны правильный треугольник и четырехугольник? (Одной окружностью) – Какой является эта окружность для треугольника, а какова она для квадрата? (Для треугольника – вписанная, для 4-угольника – описанная) a4 ––> R4 = r3 ––> a3 ––> S3 Данную задачу можно решить в три действия:
|
Как по данному чертежу найти площадь кольца между двумя окружностями, если дана сторона вписанного треугольника? a3 ––> Sкольца Надо вставить в нее пропущенные звенья. – Треугольник вписан в окружность, которая является вписанной в шестиугольник. – Найдем сторону. – Сторона шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. – Площадь кольца – разность площадей описанного и вписанного кругов. a3 ––> R3 = r6 ––> a6 = R6
Данную задачу можно решить в три действия:
|
– Позвольте теперь проверить, хорошо ли вы
справитесь с вычислениями тех соотношений, о
которых мы поговорили.
Возьмите свитки (листы с дополнительными
задачами), почитайте, подумайте, порешайте, кто
справится сейчас, буду благодарна, если не
успеете, доделаете дома. Ваши результаты не
пропадут даром, а будут суммированы.
Удачи вам в работе.
В конце урока у меня к вам будет небольшая
просьба ответить на вопросы анкеты, которая
лежит у вас на столах.
Спасибо Вам, дорогие друзья. Я поняла, как красива
бывает геометрия. Вы многому меня научили, и
теперь, благодаря Вам, я могу считать себя
учеником Пифагора.
Заключение
Дорогие друзья! Пожалуйста, ответьте на вопросы, касающиеся прошедшего урока.
– Какое впечатление у Вас сложилось? (Понравилось
– не понравилось)
– Какое настроение после урока? (Радостное –
грустное)
– Какое самочувствие? (Устал – не устал)
– Какое отношение к пройденному материалу? (Понял
– не понял)
– Какова твоя самооценка после урока? (Доволен –
не доволен)
– Оцени свою активность на уроке. (Старался – не
старался).
Домашнее задание: Доделать задачи из классной работы дифференцированно: слабые учащиеся выполняют треть всех задач, средние – две трети, сильным рекомендуется решить все задачи на дополнительную отметку.