Свойства параллелограмма

Разделы: Математика


Цели урока.

Учебные цели:

  1. Закрепить теоретический материал по теме “Параллелограмм и его свойства”.
  2. Формировать умение оперировать определениями четырехугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
  3. Формировать умение классифицировать четырехугольники.
  4. Совершенствовать навыки решения задач по теме.

Методическая цель: Закрепление и систематизация изученного материала.

Ход урока

I. Повторение.

Фронтальное обсуждение опорных конспектов (схемы I, II). Они выполнены на листах и находятся перед глазами суворовцев весь урок. К рисункам из этих конспектов мы будем обращаться при ссылке на те свойства фигур, которые применяются при решении конкретной задачи.

1. Обсуждение схемы 1.

1.1. Почему на схеме I самый верхний четырехугольник изображен таким странным: ни сторон у него равных нет, ни углов?

Потому что в определении четырехугольника ничего не сказано о равенстве сторон или углов, о параллельности сторон. Мы имеем право изобразить любую фигуру с четырьмя сторонами, лишь бы она была выпуклой.

1.2. А о чем говорят стрелки, проведенные от самого верхнего четырехугольника?

О том, что среди четырехугольников можно выделить особые, имеющие больше характерных признаков, чем все остальные.

1.3. Какие же это “особые четырехугольники”?

Это параллелограммы (суворовцы дают их определение) и трапеции (определение).

1.4. Можно ли среди параллелограммов выделить такие, которые обладают какими-то дополнительными свойствами?

Можно. Это ромбы и прямоугольники. Всеми свойствами и ромба, и прямоугольника обладает квадрат (суворовцы дают определение всех упомянутых фигур).

1.5. А среди трапеций можно ли выделить какие-то разновидности?

На схеме I выделены две разновидности: та, которая имеет два прямых угла, и та, у которой боковые стороны равны.

1.6. Но если бы мы захотели выделить из трапеции другие разновидности, то смогли бы мы это сделать?

Смогли бы. Например, можно было бы выделить такие трапеции, у которых углы, прилежащие к одной стороне, равны 450 и 1350, а к другой – 300 и 1500.

1.7. Среди четырехугольников можно ли отыскать такие, которые не являются ни параллелограммом, ни трапецией, но имеют какие-то дополнительные свойства?

Можно. Например, четырехугольник, у которого есть две пары равных сторон.

2. Обсуждение схемы 2.

2.1. Что означают черточки и дуги на рисунках 1 и 2?

Рисунок 1 подсказывает, что у параллелограмма противоположные стороны равны, а рисунок 2 говорит о том, что у параллелограмма противоположные углы равны.

2.2. Почему на рисунке 3 сделана надпись “180”?

Она означает, что у параллелограмма сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 1800.

3. Можно ли было отметить на рисунке 3 какие-либо другие пары углов?

Можно (суворовцы показывают три пары углов). Аналогичным образом комментируются рисунки 3–8.

Подходя к квадрату, нужно подчеркнуть, что он имеет больше свойств, чем все остальные из рассмотренных, поэтому можно считать квадрат богатым.

Но эти свойства квадрат заимствовал у своих собратьев, сам их не создал, не потрудился, за что заслужил обидное прозвище “тунеядец”. Так учитель закрепляет в памяти суворовцев опорный сигнал: “квадрат – самый богатый тунеядец”.

II. Закрепление.

Игра. У каждого суворовца на парте лежат разноцветные модели ромба, квадрата, прямоугольника и других параллелограммов. Учитель просит поднять ту фигуру, которая обладает названным свойствам:

  • имеет равные диагонали (квадрат и прямоугольник);
  • имеет равные противоположные углы (все модели);
  • имеет перпендикулярные диагонали (квадрат, ромб);
  • имеет равные противоположные стороны (все модели);
  • углы, прилежащие к одной стороне в сумме составляют 1800 (все модели);
  • диагонали являются биссектрисами углов (ромб, квадрат);
  • сумма всех углов равна 3600 (все модели).

Опрос суворовцев проводится в виде теста. Тестовые задания и два маленьких листочка учитель заранее раздает суворовцам (вторые листочки остаются у учащихся). Суворовцы должны прочитать задание и записать на обоих листах код правильного ответа.

Эталон: 1 – в; 2 – б; 3 – б; 4 – б; 5 – г; 6 – а; 7 – в; 8 – б; 9 – в; 10 – в.

Окончив работу, суворовцы сдают листочки с ответами. Открывается эталон теста. Ученики сверяют свои ответы с ответами эталона.

III. Обучение применению знаний состоит в решении задач.

На партах у суворовцев лежат тексты задач.

Задание. Прочитав задачу, составьте чертеж, обозначьте на нем все данные, а также сведения, вытекающие из свойств или определения фигуры. Рядом с чертежом сделайте необходимые вычисления, укажите свойства.

Если взвод затрудняется с решением, учитель открывает на доске сделанный заранее чертеж – заготовку и по нему направляет рассуждения суворовцев.

Задача 1. Меньшая сторона прямоугольника равна 4 см и образует с диагональю угол 60о. Найдите диагонали прямоугольника.

По схеме II суворовцы подбирают свойства, необходимые для решения:

3 – диагонали прямоугольника равны.

4 – диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Треугольник АВО – равнобедренный, значит,  АВО = 600 и треугольник АВО – равносторонний, т.е. ВО = АО = ВА = 4см ==>АС = 8см; ВD = 8 см.

Задача 2. Сумма трех углов параллелограмма равна 252о. Найдите углы параллелограмма.

По схеме II суворовцы вспоминают свойства, касающиеся углов параллелограмма.

2 – противолежащие углы равны, т.е. А = С, В = D.

3 – сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 1800.

По условию А + В + С = 2520, но в любом четырехугольнике сумма углов равна 360о. Тогда D = 360о - 252о = 108о и В = 108о, А = С = 180о – 108о = 72о.

Задача 3. Углы, образуемые стороной ромба с его диагоналями, относятся как 4:5. Вычислите углы ромба.

По схеме II:

6 – диагонали ромба пересекаются под прямым углом;

7 – диагонали ромба являются биссектрисами углов.

Из свойства 6 следует, что углы 1 и 2 в сумме составляют 90о. Значит, на 90о приходится 9 частей (4 + 5 = 9), тогда 1 часть составляет 10о, 4 части – 40о, 5 частей – 50о, т.е. D = 40о • 2 = 80о, А = 50о • 2 = 100о.

По свойству 2 заключаем, что А = С = 100о , В = D = 80о.

Или 1 = 4х, 2 = 5х; 1 + 2 = 90о, 4х + 5х = 90о, 9х = 90о, х = 10о,

1 = 4 • 10о = 40о, 2 = 5 • 10о = 50о,

Задача 4. Дан квадрат, сторона которого равна 1 м. Диагональ его служит стороной другого квадрата. Найдите диагональ последнего.

Подсказка учителя: “Пусть дан квадрат АВСD, его диагональ АС. Давайте на ней и построим новый квадрат. Что для этого надо сделать? – Провести из точек А и С перпендикуляры к отрезку АС и отложить на них отрезки, равные АС. Получим квадрат АСМN”.

По схеме II вспомним свойства квадрата:

4 – диагонали в точке пересечения делятся пополам;

6 – диагонали пересекаются под прямым углом.

CD – половина отрезка CN, т.е. CN = 2 • CD = 2 • 1 = 2, что и требуется найти.

Мы видим, что свойство 6 нам здесь не понадобилось. Для решения задачи оказалось достаточно одного свойства 4.

А что еще мы использовали? – Равенство сторон квадрата, и то, что у него все углы прямые.

Дополнительные задания (устно)

1. В параллелограмме АВСD АМ – биссектриса угла А, МN || АВ. Известно, что АВ = 10 м, АD = 15 м.

Учитель называет отрезок, а учение быстро говорит, чему равна длина названного отрезка:

1) MN; 2) BM; 3) AN; 4) BC; 5) ND; 6) MC.

MN = 10 м, ВМ = 10 м, AN = 10 м, ВС = 15 м, МС = 5 м.

2. Игровой момент.

Я начертила трапецию на листе бумаги. Задайте только один вопрос и, выслушав ответ, скажите, будет ли она равнобокой.

IV. Итог урока. Задание на самоподготовку.

Из всех свойств мы не обратились только к свойствам 1 и 5. Найдите в учебнике, других книгах или придумайте сами задачи, в которых используются эти свойства.

Приложение 1

Приложение 2

28.01.2015