«Любопытные свойства чисел». 5-й класс

Разделы: Математика


 «Мы… никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы» (Платон)

Название «арифметика» происходит от древнегреческого слова arithmos – число. В понятии числа  важны два момента. Во-первых, каждое число, например 5, выражает то общее, что присуще каждому множеству из 5 предметов. Во-вторых, каждое число есть результат пересчёта, начинающегося с единицы и завершающегося данным числом.  Первые представления о числах формируются в глубинах мифологического сознания.  В мифе число неразрывно связано с его символическим значением.

Число

Символическое значение

1 Единство, целостность мироздания
2 Идея простейшего противопоставления: земля – небо; восток – запад
3 Трёхчленное деление космоса по вертикали: небо – земля – подземный мир; крона – ствол – корни.
4 Устойчивость мироздания (четырёхчленное деление): север, юг, запад, восток; земля, вода, воздух, огонь; четыре сезона года (зима, весна, лето, осень).
7 3+4 Полнота и целостность мироздания (единое целое вертикального и горизонтального деления Вселенной)
12 3*4 полнота и целостность мироздания (деление года на 12 месяцев; небесного круга на 12 знаков зодиака)

Арифметика мифа принадлежала к особому типу математической культуры. Она отличалась от современной математики тем, что её интересовал не весь ряд чисел, а только особо значимые  из арифметических операций: сложение и умножение.
Некоторые народы использовали словесную систему нумерации. Например, у древних индусов она была следующей:

Число

Слова, используемые для выражения чисел

0

Пустой, небо, отверстие

1

Начало, луна, земля, брахман

2

Близнецы, ноздри, глаза, губы
Подумайте, какими словами можно было бы обозначить другие числа?
Учащиеся предлагают различные варианты, которые записываются на доске.
Затем открывается данная таблица,  и анализируются предложенные варианты с исторической  и математической точек зрения.
3 Время, миры, огонь
4 Океаны, касты, страны света
5 Стрелы, легендарные герои «Махабхараты»
6 Части тела, цвета
7 Горы, мудрецы, отшельники
8 Змеи, слоны
9 Богини
10 Пальцы, воплощения бога «Вишну»
12 Боги
14 День, половина месяца
20 Ногти
33 Зубы

 Одно и то же число могло быть выражено различными цепочками слов. Число 1230:

  1. Небо(0) – время(3) – глаза(2) – земля(1)
  2. Пустой(0) – миры(3) – близнецы(2)– брахман(1)
  3. Отверстие(0) – Шива(3) – губы(2) – луна(1).

Почему числа записаны в таком порядке? (индусы записывали справа налево)
Попробуйте записать на языке индусов числа:  452; 38; 781.
Занимательное умножение.  Парад чисел.
Арифметические действия с числами обладают рядом интересных закономерностей.  Давайте посмотрим некоторые из них.

11*11=121 1*9+2=11 9*9+7=88
111*111=12321 12*9+3=111 98*9+6=888
1111*1111=1234321 123*9+4=1111 987*9+5=8888
11111*11111=123454321 1234*9+5=11111 9876*9+4=88888
12345*9+6=111111 98765*9+3=888888
111111111*111111111= 12345678987654321 123456*9+7=1111111 987654*9+2=8888888
    9876543*9+1=88888888
    98765432*9+0=888888888

Свойство числа 481. Казалось бы, что  может быть интересного у такого числа? Но тем не менее:

Свойство

Его объяснение

Возьмём какое-либо двузначное число, например 12. Удвоим его и припишем справа 0. К результату (240) прибавим исходное число. Получится 252. Умножим это число на 481 и получим: 252*481=121212.
Возьмём другое двузначное число, например 23, и проделаем с ним те же операции. 23*2=46, 460+23=483, 483*481=232323.
В обоих случаях в результате получилось шестизначное число, в записи которого трижды повторяется исходное число. Как можно объяснить этот удивительный факт?
Если взять двузначное число a, удвоить его и приписать справа 0, то получится число 20а. Добавив к нему исходное число а, получим 21а. Секрет загадочного умножения скрыт в равенстве 21*481=10101. Имеем 21а*481 =а*10101. То, как легко видеть, есть число, в записи которого участвует три раза двузначное число а.

Угадывание чисел.
Иногда занятия математикой превращаются в увлекательные приключения с числами. Вот два таких примера.

Как найти задуманное чётное число?
Задание Решение и обоснование
Предложите задумать чётное число, затем это число надо утроить, полученное произведение разделить на 2 и частное опять утроить. После объявления результата предложенных арифметических действий вы называете задуманное число. Как это сделать? Для нахождения задуманного числа надо разделить полученный результат на 9 и затем умножить частное на 2.
Пример: задумано число 12. После утроения его получим 36, половина этого числа равна 18; утроив её, получим 54. Если теперь разделить 54 на 9, то получится 6, т.е. половина задуманного числа.
Обоснование.
Пусть задумано чётное число 2k. В результате предложенных арифметических действий получится число ((2 k*3):2)*3=9 k.
Разделив его после объявления результата на 9 и удвоив результат, получим задуманное число 2 k.
Как отгадать два числа?
Предложите задумать два числа, из которых одно превышает другое на единицу и каждое из которых не более 9. Затем надо перемножить эти числа, из произведения вычесть меньшее из задуманных, и результат опять умножить на меньшее из задуманных. По объявленной последней цифре полученного числа вы можете назвать задуманные числа. Как их найти? Для нахождения задуманных чисел надо запомнить таблицу.
Последняя цифра 1 2 3 4 5 6 7 8
Задуманные
числа
1
2
8
9
7
8
4
5
5
6
6
7
3
4
2
3

Пример: Задуманы числа 3 и 4. Перемножая их, получим 12, вычитаем из этого числа наименьшее из загаданных чисел. Имеем 9, после умножения чисел 9 и 3 получим число 27. Последняя цифра результата 7, по таблице находим, что были загаданы числа 3 и 4.
Обоснование. Пусть задуманы числа k и k+1, где 0<k<9. Произведение этих чисел равно k(k+1)=k2+k. Если из последнего числа вычесть меньшее из чисел k, то получаем k2. После умножения этого числа на k получим k3. Возводя последовательно числа от 1 до 8 в куб, получаем 13=1, 23=8, 33=27, 43=64, 53=125, 63=216, 73=343, 83=512. Каждое из полученных чисел оканчивается на одну из цифр от 1 до 8. По последней цифре куба некоторого числа можно сказать, какое число возводилось в куб.

Подведение итогов занятия. Предложить учащимся найти другие интересные закономерности чисел к следующему занятию.
Во время данного занятия у учащимися созданы условия для формирования следующих УУД:

Познавательные Ррегулятивные Коммуникативные Личностные
Использует сравнение для установления общих и специфических свойств объектов, высказывает суждения по результатам сравнения;
Делает выводы на основе обобщения знаний;
Определяет последовательность действий для решения предметной задачи, осуществляет простейшее планирование своей работы;
устанавливать аналогии и причинно-следственные связи;
Обращается к способу действия, оценивая свои возможности;
выделяет учебную задачу на основе изученного;
вырабатывает критерии оценки в диалоге с учителем, одноклассниками и самостоятельно;
Участвует в учебном диалоге;
Строит монологическую речь;
Соблюдает нормы речевого взаимодействия.
Умеет слушать, извлекать пользу из опыта одноклассников.
формирование целостного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и общественной практики, учитывающего социальное, культурное, языковое, духовное многообразие современного мира;
формирование осознанного, уважительного и доброжелательного отношения к другому человеку, его мнению.

 Источники информации:

  1. С.Н.Олехник, Ю.В. Нестеренко, М.К.Потапов «Старинные занимательные задачи», Москва,«Дрофа», 2006.
  2. А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев «Дополнительные материалы к уроку математики 5-11 классы». Москва, «Дрофа», 2001.
  3. М.М. Лиман «Школьникам о математике и математиках», Москва, «Просвещение», 1981.

13.03.2015