Урок в рамках раздела “Повторение” по теме “Наибольшее и наименьшее значение функции” проводится в 11 классе. На данном уроке осуществляется повторение теории и рассматривается решение задач, связанных с различными областями (алгебра, геометрия, физика)
Актуальность:
- задания по данной теме встречаются в тестах по ЕГЭ по математике;
- большое практическое применение;
- повторение разделов алгебра и начала анализа “Производная”, физики “Закон Ома для участка цепи”, Параллельное и последовательное соединение проводников, “Закон Джоуля-Ленца”.
Конечный результат:
ученики должны правильно уметь составлять функцию и проводить ее исследование на наибольшее и наименьшее значение.
ХОД УРОКА
- Организационный момент.
- Повторение теоретической части.
- Практическая часть.
- Домашнее задание.
Оборудование:
список предлагаемых задач (на каждый стол), плакаты по теме “Трапеция”, “Тепловая мощность”.
1. Настрой класса на урок, оформление тетрадей, сообщение цели урока: Систематизация знаний по данной теме и практическое ее применение, одновременное повторение других тем алгебры и физики.
2. Учитель: нам необходимо вспомнить
алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции f(x) на отрезке 
Ученик: Для нахождения наибольшего
(наименьшего) значения функции f(x) на отрезке надо
- Найти значение функции на концах этого отрезка, т.е. f(a) и f(b);
- Найти ее значения в тех стационарных точках, которые принадлежат интервалу (а; в)
- Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
Учитель: Подробнее остановимся на п.2. Какие точки называются стационарными?
Ученик: Стационарными называются точки, в которых производная функции f/ (x)=0.
Учитель: Т.о. чтобы найти стационарные точки надо: найти производную функции f/ (x) и решить уравнение f/ (x)=0.
Рассмотрим первое задание, это задание из примерного варианта теста по итоговой аттестации.
Пример 1.
Сумма наибольшего и наименьшего значения
функции f(x)=-х3+3х2+5 на отрезке 
равна…
Решение: (Устно)
- f(1)=7, f(3)=5
- f/ (x)=-3х2+6х, f/ (x)=0, -3х2+6х=0
х=0
х=2
х=0
(1;3), а f(2)=9
3. Наибольшее значение функции f(x)=-х3+3х2+5
на отрезке
равно 9, а наименьшее значение равно 5, отвечая на
вопрос задания, получается 14.
Ответ: 14.
Учитель: При решении многих задач часто приходится находить наибольшее и наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале. Вспомним алгоритм, по которому решаются данные задачи.
Ученик: При решении подобных задач находится стационарная точка. Как правило, на данном интервале функция имеет одну стационарную точку: либо точку максимума, либо точку минимума. В этих случаях в точке максимума функция f(x) принимает наибольшее значение на данном интервале, а в точке минимума – наименьшее значение на данном интервале.
Учитель: Рассмотрим вторую задачу (учащиеся читают текст).
Пример 2.
Найдите большее основание трапеции наибольшей площади, если боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 20 см.
Учитель: Прежде чем приступить к решению задачи вашему вниманию предлагается небольшой справочный материал.
Заслушивается выступление ученика 9 класса. (Для наглядности вывешивается плакат со справочным материалом)
Трапеция… В учебнике геометрии ее определение дается как: трапеция-это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами. Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны. Формулу для расчета площади трапеции можно получить несколькими способами, в зависимости от того на какие фигуры разбивается трапеция. Но все решения приводят к одному результату: площадь трапеции равна полусумме ее основания на высоту.
Проанализируем предложенную вам задачу. Вам дана равнобедренная трапеция, у которой надо найти большее основание, чтобы площадь трапеции принимала максимальное ее значение. Желаю вам успеха в ее решении!
Решение:
1. Зададим функцию, которую будем исследовать на
максимальное значение и выберем интервал.
Пусть х – большее основание, тогда АН=
(АД–ВС), т.к.
АВСД – равнобедренная трапеция;
АНВ –
прямоугольный, следовательно по теореме
Пифагора ВН2=АВ2–АН2,
ВН=
, ВН=
S(x) = 
Для нахождения интервала, на котором
исследуется данная функция, воспользуемся тем,
что подкоренное выражение 1200-х2+40х 
0.
Для решения неравенства воспользуемся графическим методом:
у(х)= 1200-х2+40х – графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.
Находим точки пересечения графика с осью абсцисс, для этого решим квадратное уравнение 1200-х2+40х=0. По теореме Виета х1=-20 х2=60
По эскизу графика находим решение данного
неравенства: х
Учитывая условия задачи, получаем интервал: х
2. т.о. исследуем функцию S(x) = на интервале х на наибольшее значение
S/ (x) =
S/ (x) =
S/ (x) =0 х2-20х-800=0
По теореме Виета х1= –20 – не подходит по условию задачи
х2=40
При переходе через точку х=40 производная меняет знак “+” на “-”, следовательно, х=40 – точка максимума. При данном значении площадь трапеции наибольшая.
Ответ: АД=40 см.
Учитель: Какие вопросы будут по решению задачи?
Т.о. мы рассмотрели решение геометрической задачи на нахождение наибольшего значения. Следующая задача носит физический характер, но при ее решении так же используется теория на нахождение наибольшего (наименьшего) значения на интервале.
Рассмотрим третью задачу, (учащиеся знакомятся содержанием задачи)
Пример3
Цепочка из двух последовательно соединенных резисторов подключена к источнику постоянного напряжения U=12В.
Сопротивление одного из них R1= 4 Ом. При каком значении сопротивления R2 второго резистора тепловая мощность, выделяющаяся на нем, будет максимальной? Найти эту максимальную мощность.
Учитель: И снова небольшой справочный материал. Вашему вниманию предлагается выступление ученика 10 класса. (Для наглядности вывешивается плакат с необходимым справочным материалом)
Тепловая мощность обозначается буквой Р, единица измерения – Ватт.
Р=
, где
Q-количество теплоты, выделяемой в проводнике.
Согласно закона сохранения энергии, тепло Q
выделяющееся в проводнике за время t равно работе
Аэл электрических сил определяется по
формуле Q=UJt. Тогда тепловая мощность равна Р=UJ.
В предложенной вам задаче, необходимо учесть, что резисторы подключены последовательно. При последовательном соединении один резистор следует за другим, и сила тока в каждом резисторе одинакова и равна полному току J. Напряжение U на этом участке будет равно сумме напряжений U1, U2 на резисторах.
Принимая во внимание вышеизложенное в соответствии с законом Ома для участка цепи, полное сопротивление R рассматриваемого участка R= R1+ R 2. Вам была представлена вся необходимая информация для решения задачи. Желаю вам успеха!
Решение:
1. Задание функции: Р2= R2 J22,
J2= J=
, Rоб=
R1+ R2
Р2=
, Р2(R2)=
, R2
2. Исследование на наибольшее значение:
Р2/=144 (
)=
Р2/=0 , 144
=0, 16- R22=0
R2= –4 – не подходит по условию задачи;
R2= 4
При переходе через точку R2 = 4 производная меняет свой знак с “+”на “-”, следовательно R2 = 4 является точкой максимума, тогда функция Р2(R2) в этой точке принимает свое наибольшее значение.
Р2(4)=
=9
(Вт)
Ответ: 4 Ом; 9 Вт;
Общий вывод по уроку: Таким образом, предложенные задачи показывают большое практическое применение темы “Наибольшее и наименьшее значение функции”.
4. Создание сборника задач на нахождение наибольшего и наименьшего значение функции.