"Теорема Виета в решении квадратных уравнений". 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8


Цели урока:

Образовательные: повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, продолжить формирование умения решать квадратные уравнения, познакомить учащихся с теоремой Виета и обратной теоремой Виета.

Развивающие: развивать навыки познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать, развитие умений выделять главное при работе,развитие речи, внимания; формирование самостоятельности в мышлении.

Воспитательные: развивать интерес к математике, привитие аккуратности и трудолюбия, навыков самостоятельной работы и самооценки.

Оборудование: интерактивная доска, компьютер, карточки с дифференцированными заданиями.

Ход урока

I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний

- Мы начнем сегодняшний урок с высказывания математика Джорджа Пойа “Лучший способ изучить что-либо - это открыть самому”. (Слайд 1. Презентация).Это высказывание я выбрала не случайно, так как сегодня на уроке вам предстоит самим сформулировать теорему, которая играет важнейшую роль для дальнейшего изучения математики.

- Для начала давайте вспомним, какую тему мы с вами изучаем?

- Составьте, пожалуйста, синквейн по данной теме. (Слайд 2)

Заслушиваем несколько учащихся.

- Какое уравнение называется квадратным? (Слайд 3)

- Является ли квадратным уравнение:

а) 5x2-7x3+13=0;

б) 8x-5x2+4=0;

в)

Возьмите приложение 1 и выполните задания. Соедините каждое уравнение, стоящее в левом столбце, с соответствующими ему коэффициентами а, b, с из правого столбца (Слайд 4):

2 + 6х – 8 = 0 а = 8; b = - 6; с = 1
-6x+ 8х2 + 1 = 0 а = -8; b = 0; с = 6
-8 – х + 6х2 = 0 а = -1; b = 6; с = - 8
-8х2 + 6= 0 а = 1; b = 8; с = - 1
-1 + x2 + 8x=0 а = 6; b = -1; с = - 8

Соедините каждое утверждение, стоящее в левом столбце, с соответствующим ему словом из правого столбца. (Слайд 5)

Квадратное уравнение спервым коэффициентомравным 1 неполное
Подкоренное выражениев формуле корней    квадратного уравнения коэффициенты
Один из видов квадратного уравнения приведенное
a,b, с в квадратном уравнении. дискриминант
  1. Что называют дискриминантом квадратного уравнения? (Слайд 6)
  2. Как с помощью дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение?
  3. Назовите формулы корней квадратных уравнений.

Вы научились решать неполные квадратные уравнения по специальным алгоритмам, а полные квадратные уравнения – по формулам. Решение по формулам громоздко, поэтому давайте с вами найдем другой более простой способ нахождения корней квадратного уравнения. Для этого проведем небольшую исследовательскую работу в парах. Возьмите приложение 2 и выполните задания, напечатанные в нем.

1. Решите приведенные квадратные уравнения

х2 – 7х – 18=0;

х2 - 10х + 21=0;

х2 + 13х - 30=0

2. Заполните таблицу (Слайд 7).

Уравнение а b c Найдите значение D x1 x2 x1+x2 x1*x2
х2 – 7х – 18=0                  
х2 - 10х + 21=0                  
х2 + 13х - 30=0                  

Проверка полученных результатов учащихся с помощью заполненной таблицы (Слайд 8).

III. Изучение нового материала.

3. Установить связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами.

4. Запишите в тетради приведенное квадратное уравнение в общем виде, в котором второй коэффициент обозначим буквой p, а свободный член буквой q: х2 + px + q = 0.

5. Запишите общую формулу корней приведенного квадратного уравнения.

6. Найдите сумму корней приведенного квадратного уравнения (x1 + x2 = - p)

7. Найдите произведение корней приведенного квадратного уравнения (x1 * x2 = q).

8. Сформулируйте полученный результат. (Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Данное утверждение носит название теоремы Виета по имени французского математика Франсуа Виета. В 1591 году Виет ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней формулами.

Запишите, пожалуйста, в тетради тему сегодняшнего урока: "Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений" (Слайд 9).

Откройте учебники и запишите теорему Виета (Слайд 10).

Можно ли использовать теорему Виета для решения неприведенных квадратных уравнений вида ax2 + bx + c= 0?

Для уравнений вида ax2+bx+c=0 сумма корней равна ,

а произведение (Слайд 11).

Как вы думаете для чего нам нужна теорема Виета? Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного квадратного уравнения через его коэффициенты.

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета:

Если m и n таковы, что их сумма равна - p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + px + q = 0. Запишите данную теорему в тетради (слайд 12).

По теореме, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Если выполняется равенство и , то числа х1 и х2 являются корнями квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.

IV. Физминутка (Слайд 13).

V. Закрепление изученного материала.

Трое учащихся с помощью учителя по очереди решают у доски 3 примера, а остальные учащиеся записывают эти решения в тетради.

Пример 1

Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x2-5x+2=0.

Дискриминант D=1 - положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведенное квадратное уравнение . Значит, сумма корней равна , а произведение равно .

Пример 2

Решим уравнение x2+3x-40=0 и выполним проверку по теореме, обратной теореме Виета.

Найдем дискриминант: D=169.

По формуле корней квадратного уравнения получаем: x1 = - 8, x2 = 5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно.

В уравнении x2+3x-40=0 коэффициент p = 3, а свободный член q= - 40. Сумма найденных чисел -8 и 5 равна -3, а их произведение равно -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения x2+3x-40=0.

Пример 3

Найдем подбором корни уравнения x2-x-12=0.

Найдем дискриминант: D=49-положительное число. Пусть x1 и x2- корни уравнения. Тогда

Если x1и x2 - целые числа, то они являются делителями числа -12.

Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что x1= - 3 и x2 = 4.

Учащимся предлагается выполнить номера из учебника.

 Задание 1. Найдите сумму и произведение корней уравнений № 580 а,д,в,г.

Задание 2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета. № 581 ав.

Задание 3. Методом подбора найдите корни уравнений. № 583 ав.

Учащимся быстрее других, справившихся с данными номерами, предлагается решить следующее дополнительное задание:

Один из корней данного квадратного уравнения равен – 2.

Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: 3х2 + kх + 10 = 0 (к = 11, ).

VI. Самостоятельная работа на 10-15 минут. (Слайд 14)

Возьмите приложение 3 и выполните самостоятельную работу.

Номер задания Количество баллов Задание
Обязательная часть
1 1 Чему равно произведение корней уравнения квадратного уравнения х2 + 3х - 1=0?
2 1 Чему равна сумма корней уравнения квадратного уравнения х2 – 6х +8=0?
3 1 Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа – 3; 7.
4 2 Чему равно произведение корней уравнения квадратного уравнения 2х2 + 9х - 6=0?
5 2 Один из корней данного квадратного уравнения равен –3. Найдите коэффициент k и второй корень уравнения: х2 +4х + k = 0
Дополнительная часть
6 3 Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа .
7 3 Не вычисляя корней уравнения х2 – 4 х – 5 = 0, найдите , где х1 и х2 - корни данного уравнения.

 

Оценка Количество, набранных баллов
2 0-6
3 7-8
4 9-10
5 11-13

VII. Подведение итогов урока.

- Что нового вы сегодня узнали на уроке?

- Сформулируйте теорему Виета и теорему обратную теореме Виета.

- Всегда ли можно применять теорему Виета? (Нет, только когда D?0).

- Для чего нам нужна теорема Виета?

- Как можно решить уравнение: х2 + 2х – 3 = 0.

Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

- Какие же корни? (-3 и 1).

- А еще это уравнение можно решить графически и этот способ решения мы изучим с вами на следующем уроке.

- Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: “Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто”. (Слайд 15)

VIII. Домашнее задание (слайд 16).

1. Пункт 24, № 580 бежз, 581 г, 583 б.

2. Решить уравнение: х2+ 2013х – 2014=0.

IX. Рефлексия. (Слайд 17).

Лист самооценки

Оцените степень сложности урока.

Вам было на уроке:

  • легко;
  • обычно;
  • трудно.

Оцените степень вашего усвоения материала:

  • усвоил полностью, могу применить;
  • усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;
  • усвоил частично;
  • не усвоил.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4