ОГЛАВЛЕНИЕ
- Предисловие
- Введение
- Раздел I. Примеры решения простейших иррациональных неравенств
- Раздел II. Неравенства вида
>g(x), 
< g(x), 
g(x), 
g(x) - Раздел III. Неравенства вида
; 
; 
;
- Раздел IV. Неравенства, содержащие несколько корней чётной степени
- Раздел V. Метод замены (введение новой переменной)
- Раздел VI. Неравенства вида f(x)
0; f(x)0; f(x)>0; f(x)<0 - Раздел VII. Неравенства вида
- Раздел VIII. Использование преобразований подкоренного выражения в иррациональных неравенствах
- Раздел IX. Графическое решение иррациональных неравенств
- Раздел X. Неравенства смешанного типа 31
- Раздел ХI. Использование свойства монотонности функции
- Раздел ХII. Метод замены функции
- Раздел ХIII. Примеры решения неравенств непосредственно методом интервалов
- Раздел XIV. Примеры решения иррациональных неравенств с параметрами
- Ответы
- Литература
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие адресовано старшеклассникам средней общеобразовательной школы, а также поступающим в вузы как методическое руководство по решению иррациональных неравенств. В пособии подробно разобраны основные методы решения иррациональных неравенств, даны примерные образцы оформления решения иррациональных неравенств, приведены примеры решения иррациональных неравенств с параметрами, а также предложены примеры для самостоятельного решения, для некоторых из них даны краткие ответы и указания.
При разборе примеров, самостоятельного решения неравенств, предполагается, что учащийся умеет решать линейные, квадратные и другие неравенства, владеет различными методами решения неравенств, в частности, методом интервалов. Предлагается решить неравенство несколькими способами.
Учителя могут использовать пособие как дидактический материал для проведения самостоятельных работ, при обзорном повторении темы “Иррациональные неравенства”.
В пособии отражён опыт работы учителя по изучению с учащимися темы “Иррациональные неравенства”.
Задачи подобраны из материалов вступительных экзаменов в высшие учебные заведения, методических газет и журналов по математике “Первое сентября”, “Математика в школе”, “Квант", учебных пособий, перечень которых приведён в конце пособия.
ВВЕДЕНИЕ
Иррациональными называют неравенства, в которые переменные или функция от переменной входят под знаком корня.
Основным стандартным методом решения иррациональных неравенств является последовательное возведение обеих частей неравенства в степень с целью освобождения от корня. Но эта операция часто приводит к появлению посторонних корней или, даже, к потере корней, т.е. приводит к неравенству, неравносильному исходному. Поэтому, надо очень тщательно следить за равносильностью преобразований и рассматривать только те значения переменной, при которых неравенство имеет смысл:
- если корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным и значение корня тоже неотрицательное число.
- если корень степени - нечётное число, то подкоренное выражение может принимать любое действительное число и знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.
- возводить в чётную степень обе части неравенства можно только, предварительно убедившись в их неотрицательности;
- возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечётную степень всегда является равносильным преобразованием.
Приложение. Пособие "МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ"