Цели урока:
- организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и запоминанию новых понятий, объектов и свойств по данной теме, а именно: топологически равных фигур, листа Мебиуса;
- организовать исследовательскую деятельность учащихся по выявлению свойств топологических объектов;
- способствовать развитию математической речи учащихся, умений формулировать проблемы, предлагать пути их решения;
- расширить кругозор учащихся;
- способствовать развитию воображения, мышления;
- способствовать развитию умения работать коллективно, уважать мнения других;
- развивать познавательный интерес к предмету путем применения информационных технологий.
Оборудование: мультимедийный проектор, разноцветные полоски бумаги для проведения опытов, пластилин, модели фигур из проволоки, карточки – задания.
Форма работы: групповая.
Эпиграф урока: «Глядя на мир, нельзя не удивляться». (К.Прутков)
ХОД УРОКА:
I. Организационный этап
1) Приветствие учащихся. Проверка учебных принадлежностей, раздаточного материала.
2) Постановка цели урока.
3) Мотивация:
– Ребята! Сегодня на уроке мы рассмотрим объекты, которые изучает раздел геометрии – топология. Проведем ряд исследований и опытов с этими объектами, рассмотрим свойства этих объектов, и возможно некоторые из них будут для вас неожиданными и смогут вас удивить. Я считаю, что эпиграф к сегодняшнему занятию является наиболее точным выражением для нашей будущей работы, а вы в конце урока сможете мне об этом сообщить.
II. Этап изучения новых знаний
ТОПОЛОГИЯ – раздел геометрии, изучающий свойства фигур и тел, которые не изменяются при деформации, (фигуры можно сжимать и растягивать, сгибать и выпрямлять, но нельзя разрезать и склеивать).
<Приложение 1. Слайд 1>
– Фигура, которая получилась после деформации и исходная фигура называются топологически равными.
<Приложение 1. Слайд 2>
Учитель показывает преобразования фигур на примере моделей из проволоки.
<Приложение 1. Слайд 3>
Задание №1.
На экране изображены несколько фигур. После обсуждения в группах, выяснить какие из них будут топологически равными.
<Приложение 1. Слайд 4>
(Обсуждение ответов каждой группы).
Можно считать, что топология изучает фигуры, сделанные из пластилина, т.к. фигуры из этого материала можно растягивать, сжимать, без разрывов и склеиваний, и получать топологически равные. Примерами топологически равных фигур в жизни могут быть шар и тарелка, гайка и баранка, баранка и макаронина. ( Учащиеся приводят свои примеры)
Задание №2
– Ребята! Возьмите в руки пластилин.
Предположим, что заглавные буквы русского
алфавита сделаны из пластилина. Попытайтесь
найти несколько топологически похожих букв.
Например, А ––> Я ––> Д (можно
из одной буквы получать другую без разрывов и
склеиваний).
(Учащиеся демонстрируют свои примеры).
– Самым удивительным объектом топологии
является лист Мебиуса.
У каждого из нас есть представление о
поверхности (поверхность стола, поверхность
бумаги и т.д.). Может ли быть в этом понятии
что-то неожиданное? Оказывается, может! Вам
интересно узнать, какие неожиданности могут
быть? Лист Мебиуса поможет нам в этом.
Опыт №1.
– Проведем небольшой опыт. Перед вами лежат
полоски бумаги белого цвета. Склейте, пожалуйста,
из них простое кольцо.
А теперь, возьмите полоску оранжевого цвета и
склейте ее таким образом: совместите точки А и Д,
точки В и С, для этого выполнив поворот ленты 1
раз.
– Вы получили знаменитое кольцо, которое называется лента Мебиуса.
<Приложение 1. Слайд 5>
<Приложение 1. Слайд 6>
Один из учащихся делает сообщение о том, как был открыт лист Мебиуса.
– Ребята, вы бы хотели узнать, чем отличается лист Мебиуса от простого кольца и какими загадочными свойствами он обладает?
Проведем несколько опытов.
Опыт № 2.
– Представьте, что нам надо закрасить
простое кольцо, не переходя через край. Что у нас
может получиться? Давайте попробуем это сделать. (Учащиеся
выполняют задание и показывают, что одна сторона
кольца осталась не закрашенной.)
– Теперь тоже самое проделайте с листом Мебиуса.
Что у вас получилось? Сделайте вывод.
Учащиеся делают вывод: у простого кольца две стороны, а у листа Мебиуса – одна.
Рихард Курант сказал: «Если кто-нибудь вздумает раскрасить только одну сторону листа Мебиуса, то пусть лучше сразу опустить его в ведро с краской»
Опыт № 3
– Ребята, представьте, то на одной стороне
простого кольца сидит паук, а на другой стороне –
муха. Разрешим ползать им как угодно, но только не
перелезая через край кольца. Сколько времени
понадобиться пауку, чтобы догнать муху? (Ребята
высказывают свои предположения).
– А если, мы посадим их на лист Мебиуса? (Ребята
высказывают свои предположения).
– Давайте, проведем на простом кольце пунктирной
линией путь паука за мухой, и тоже самое сделаем
на листе Мебиуса. Что вы заметили? Обсудите в
группах и сделайте вывод по данному опыту.
Учащиеся делают вывод: Лист Мебиуса
– двусторонняя поверхность.
Опыт № 4
– Ребята, как вы думаете, что произойдет с
простым кольцом, если его разрезать по
пунктирным линиям, нанесенным посередине? (Высказываются
различные предположения).
Давайте попробуем сейчас это выполнить и
убедиться, верны ли ваши предположения. Склейте
простое кольцо из белой полоски, на которой
нанесена пунктирная линия.
(Ребята разрезают простое кольцо и видят, что получили тоже простое кольцо, но в два раза длиннее исходного).
– Как вы думаете, а что может произойти с листом Мебиуса, если его также разрезать по линии? Выполните разрезание, рассмотрите полученное кольцо и выявите его свойства.
(Учащиеся разрезают лист М. и отмечают, что свойства кольца нарушились, т.к. получили двустороннюю поверхность.)
Вывод: при разрезании свойства листа М. нарушаются
Опыт № 5
– Возьмите оранжевую полоску, на которой нанесена пунктирная линия. Склейте кольцо, выполнив два оборота. Разрежьте это кольцо по пунктирной линии, исследуйте полученные объекты в группах и сделайте вывод.
Вывод: В результате разрезания получили два кольца, закрученные один раз, но которые не являются листами Мебиуса
Опыт № 6
Взять полоску оранжевого цвета, которая разделена на три части и склеить из нее лист Мебиуса. Разрезать полоску на три части по пунктирным линиям. Исследовать полученные объекты, обсудить в группах и сделать вывод.
Вывод: в результате разрезания получили два кольца : одно из которых является листом Мебиуса, его ширина в три раза меньше исходного, длина осталась той же; второе кольцо в два раза длиннее исходного, перекручено два раза и не является листом Мебиуса.
– Ребята, на основании тех исследований, которые вы сейчас проводили, давайте сделаем общий вывод о листе Мебиуса.
Вывод: лист Мебиуса – это односторонняя поверхность и он изменяет свои свойства при разрезании
Лист Мебиуса использовали художники и скульпторы, много рисунков оставил известный график М. Эшер. В учебнике «Наглядная геометрия» на странице 70 можно увидеть его работу. В литературе также встречается упоминанием о листе Мебиуса.
Романтическое описание листа Мебиуса
встречается в повести Э.Успенского «Красная
рука, черная простыня, зеленые пальцы»
«…Но больше всего поразил Рахманина какой-то
странный то ли знак, то ли вензель, то ли орден
очень и очень аккуратной работы. Никогда раньше
он не видел ничего похожего. Это изделие
напоминало или старинный герб иностранного
дворянского рода, или герб страховой компании,
торгующей научными приборами, потому что основу
его составлял лист Мебиуса.
Эта вещь очень понравилась Рахманину… В знаке
совершенно четко проступал какой-то смысл, были
заложены определенные пропорции и связи.»
<Приложение 1. Слайд 7>
У входа в музей истории и техники в Вашингтоне
медленно вращается на пьедестале перекрученная,
на полвитка стальная лента.
В 1923г изобретатель. Ли де Форес предложил
записывать звук на киноленту без смены катушек.
Придуманы кассеты для магнитофона, где лента
перекручивается и соединяется в кольцо, при этом
появляется возможность записывать и считывать
информацию с двух сторон, что увеличивает
емкость кассеты.
В 1969 г. советский изобретатель Губайдуллин
предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде
ленты Мебиуса.
Изобретатель Чесноков применил фильтр в виде
ленты Мебиуса.
III. Этап подведения итогов
– Чему научились в ходе урока?
– Что узнали нового?
– Были ли для вас удивительные факты на уроке?
– Справедливы ли слова К. Пруткова, которые были
выбраны как эпиграф урока?
– И в заключение урока, хотелось бы сказать, что более 100 лет лист Мебиуса используется для показа фокусов и различных развлечений. Предлагаю вам небольшой фокус: завязать на шнуре узел, не выпуская из рук его концов.
(Учащиеся пытаются выполнить задание и разгадать фокус)