Формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы

Разделы: Математика

Девиз урока:
«Дорогу осилит идущий,
а математику – мыслящий».

Цели:

  • выведение формулы (а + b)2 и формирование умения пользоваться данной формулой;
  • воспитание сознательной дисциплины учащихся через вовлечение каждого ученика в активную и посильную самостоятельную учебную деятельность;
  • развитие умений организации учебного труда, развитие устной и письменной речи.

Структура урока:

  1. Постановка цели урока.
  2. Подготовка к изучению нового материала.
  3. Ознакомление с новым материалом.
  4. Первичное осмысление и применение формулы.

Ход урока

1. Актуализация знаний.

1.1. Устная работа.

- Расшифруйте тему урока.

1 2 3 4 5 6 7
К В А Д Р А Т
8 9 10 11 12
С У М М Ы

Возведите в квадрат следующие одночлены:

1) -4
А. -8. В. -16. К. 16.

2) 0,7
Б. 1,4. О. 4,9. В. 0,49.

3) 5х
Р. 10х. А. 25х2. И. 25х.

4) 3аb
Д. 9а2 b2. М. 9аb. У. 6а2 b2.

5) 10y3
Г. 100у9. Я. 10у6. Р. 100у6.

6) a 2b 5
Ж. a4 b5. А. a4 b10. З. 2a2 b5.

7) -5а3с4
Т. 25а6с8. У. -25а3с8. К. 10а9с16.

Выполните действия:

8) -4х (х+у)
Е. -4х2 + у. С. -4х2 – 4ху. Н. -4х2 + 4ху.

9) (a+1)(а+2)
У. а2 + 3а + 2. О. а2 + 2. Р. 2а + 3.

10) -3а-12+5+2а
Л. 5а + 17. А. а + 7. М. -а – 7.

11) -2 (-4b)ab
И. 16ab. М. 8ab2. К. -8ab2.

12) (5х3 + 2х2) – (2х2 – 4х)
Р. 5х3 + 4х2 + 4х. А. 5х3 – 4х. Ы. 5х3 + 4х.

(Записать в тетрадях и на доске тему урока.)

1.2. Прочитать выражения, записанные на доске.

  • 2ab, m2 + n2; a2 – b2, 4с – 5d, (а – b)2

1.3. Составить алгебраическое выражение.

Задание Выражение Цифра ответа
Составьте по описанию алгебраические выражения.    
Сумма квадратов чисел а и b. 1. (а2 – b2)(а + b) 4
Разность между числом m и удвоенной суммой чисел a и b. 2. (b – a)2 5
Квадрат разности чисел b и a. 3. 2ab 2
Разность квадратов чисел a и b, умноженная на сумму этих чисел. 4. a2 + b2 1
Удвоенное произведение чисел a и b. 5. m – 2(a + b) 3

Ответы: 45213.

Задания Выражения Цифра ответа
Утроенная сумма чисел m и n. 1. 2mn 4
Квадрат суммы чисел m и n. 2. m – n2 3
Удвоенное произведение чисел m и n. 3. (m + n)2 1
Сумма квадратов чисел m и n, умноженная на разность этих же чисел. 4. 3(m + n) 5
Разность между числом m и квадратом числа n. 5. (m2 + n2)(m – n) 2

Ответы: 43152.

2. Изучение темы.

Задание получает каждая группа.

Группа 1. Раскрыть скобки (a + b)2.
Группа 2. Раскрыть скобки (m + n)2.
Группа 3. Раскрыть скобки (с + d)2.
Группа 4. Раскрыть скобки (p + q)2.

- Есть ли у вас формула или правило, по которому вы можете раскрыть данную скобку? (Нет.)

- Значит, вам нужно подумать и предложить другой способ раскрытия скобки.

- При выполнении какого действия вам приходилось раскрывать скобки? (При умножении.)

- Можем ли мы представить квадрат в виде произведения?

В тетрадях появляется запись:

(а + b)(a + b)
(m + n)(m + n)
(c + d)(c + d)
(p + q)(p + q)

- Теперь вы сможете раскрыть скобки? После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получили алгебраическое выражение:

a2 + 2ab + b2
m2 + 2mn + n2
c2 + 2cd + d2
p2 + 2pq + q2

(Каждая группа оформляет вывод формулы на ватмане и прикрепляет его на доску.)

- Вы получили формулу с помощью, которой можно раскрыть скобку, не выполняя умножения.

- А формулы, полученные вами, они разные или это одна и та же формула, но записанная с помощью разных букв?

Формулировка: «Квадрат суммы двух чисел равен сумме квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа».

- Занимаясь математикой, вы не могли не заметить, что она состоит из нескольких частей. Вы научились оперировать натуральными и дробными числами, знаете положительные и отрицательные числа.

«Число» по-гречески звучит так: арифмос, поэтому наука о числах получила название «Арифметика».

Другой раздел математики посвящен различным фигурам и их свойствам и называется «Геометрия».

«Гео» по-гречески «земля», а «метрео» – мерить.

Но вот слово «Алгебра» (раздел математики, где решаются задачи с помощью уравнений, рассматриваются преобразования выражений, составленные из чисел и букв) не греческое. В чём тут дело? Разве у греков не было алгебры? Была! Но решали алгебраические задачи древние греки геометрически, часто очень сложные задачи «по здравому смыслу».

Вот что писал Евклид в своей замечательной книге «Начала» по поводу одного из математических утверждений:

«Если отрезок как-либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всём отрезке, равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти два отрезка».

Суть этой фразы в формуле (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Изобразить эту формулу геометрически можно так (начерчено на ватмане и закреплено на доске):

Т.о., мы получили три способа формулировки математических утверждений:

  1. Словесный – понятный, но длинный, неудобный.
  2. Геометрический – наглядный, но не всегда удобный для вычисления.
  3. Символьный – краткий, легко запоминающийся.

Арабское слово «Аль джебр» (в переводе восстановление) переводчик не стал переводить, а записал его латинскими буквами algebra. Так возникло название науки, которую мы изучаем.

Интересно, что «алгебраистами» в средние века называли вовсе не математиков, а арабских хирургов-костоправов. Об одном таком алгебраисте написал Сервантес в своём знаменитом романе «Хитроумный Идальго Дон Кихот Ламанческий».

3. Первичное закрепление.

Раскрыть скобку, используя полученную формулу – квадрат суммы

(8х +3у)2 = 64х2 + 48ху + 9у2
(а3 + 4b)2 = а6 + 8а3b + 16b2
(10z + 3t)2 =100z2 + 60zt + 9t2
(m2 + 6n)2 = m4 + 12m2n + 36n2

- На этом уроке мы познакомились ещё с одной формулой сокращенного умножения. Эту формулу первыми доказали греки. Когда греков завоевали римляне, развитие математики надолго остановилось. На целую 1000 лет! Возродили математику арабы. Когда-то очень давно жил выдающийся арабский поэт – математик Омар Хайям:

...Мне мудрость не чужда была земная,
Разгадки тайн ища, не ведал сна я
За 70 перевалило мне,
Что ж я узнал! –
Что ничего не знаю.