Урок по теме "Применение производной к исследованию функций". 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Образовательная цель: обобщение и систематизация знаний и навыков по теме “Применение производной к исследованию функций”.

Развивающая цель: развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации, умения работать в проблемной ситуации; развитие умений сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли; развитие самостоятельной деятельности учащихся.

Воспитательная цель: воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.

Необходимое оборудование и материалы для урока: компьютер, мультимедийный проектор, индивидуальные задания на карточках, документ-камера.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Этапы урока.
Этапы урока Время, мин.
I. Организационный момент 0,5
II. Актуализация опорных знаний:
  • проверка домашнего задания;
  • устная работа по закреплении теоретического материала;
  • работа по готовым чертежам на интерактивной доске;
  • проблемная ситуация;
  • ЭОР: практикум по теме "Применение производной к исследованию функций"
18,5

1,5
3
4
3
7
III. Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности:
  • работа в парах с тестами;
  • практическая работа в группах с взаимопроверкой;
  • электронные тесты
  • творческое задание
 19

5
7
5
2
IV. Инструктаж домашнего задания. 1
V. Подведение итогов урока. 1

Методика проведения урока.
Ход урока УУД
I. Организационный момент

II. Актуализация опорных знаний

1. Проверка домашнего задания

2. Повторение теоретического материала.

Вопросы к теоретической части.

  1. Достаточный признак возрастания (убывания) функции.
  2. Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
    (Приложение 2: Слайды 4, 5)
  3. Определение критических точек функции, точек экстремума и экстремумов функции.
  4. Необходимое условие экстремума.
  5. Достаточные условия существования экстремума в точке: признак максимума и
    минимума. Примеры функций, имеющих экстремумы и не имеющих.
  6. Алгоритм отыскания экстремумов функции.
  7. Схема исследования функции (с помощью производной).
  8. Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции на отрезке.
    (Слайды 6, 7)

3. Привести примеры функций: (Слайд 8)

Имеющих критические точки, в которых f’(x) не существует.

  1. f’(x0) = 0, но x0 не является точкой экстремума.
  2. f(x) = . Найти f’(x). Найти f’(0). Является ли 0 – критической точкой.
  3. f(x) =. Найти f’(x). Найти f’(0). Является ли 0 – критической точкой.
  4. Может ли значение функции в точке максимума быть меньше ее значения в точке
    минимума.

(Ответ: да, может.)

4. Работа по готовым чертежам. (Слайды 9–20)

Презентация выводится на экран. Учитель задает вопросы по готовым чертежам, изображенным
на слайдах 9–20. Ученики отвечают на вопросы.

5. Проблемная ситуация:

Задача. Определить какое из чисел больше?

Сравнить числа:

(cos 1990) и (1+ cos 1991).

Возможно ли эту задачу решить известными ученикам приемами? Формулы приведения
применить нельзя; использование формул тригонометрических преобразований не приводит к нужному результату.

Пусть M = cos 1990; N= I +cos 1991.

Задача сводится к тому, какой знак между этими числами поставить: М>N либо M<N.

В связи с только что изученной теорией ученики использовали свойство возрастания
и убывания функции:

Функция f возрастает (убывает) на множестве Р, если для любых x1 и x2 из множества Р,
таких, что x2 > x1 выполнено неравенство f(x2) > f(x1) .

Целесообразно вспомнить это определение и при решении настоящей задачи. Тогда нужно
определить, как относиться к М и N: либо как к аргументам, либо как к соответствующим
значениям какой-то функции, и, связав это с ее производной, выяснить характер ее
монотонности и ответить на вопрос задачи. Так как составление функции в данных
условиях для учеников – задача непривычная, подсказка учителя не будет лишней.

Понятно, что прибавление одной и той же константы к обеим частям неравенства сохранит
знак этого неравенства:

Положим С = 1990, тогда:

C + M = 1990 + cos l990; С + N = 1991 + cos l991.

Нетрудно видеть, что если рассмотреть функцию f(x) = x + cosx,

то С + М = f(1990), C + N = f(1991).

Итак, имеем две точки x1 и x2:

x1 = 1990, x2 =1991; x1 < x2 ;

надо сравнить значения функции f(x) в этих точках.

Определим характер монотонности f(x):

так как f'(x) = 1 – sinx ≥ 0 и f'(x) = 0 при х = , то f(x) возрастает на множестве всех действительных чисел.

Поэтому: f(1990) < f (1991) => М + С < N + C => M < N =>

(cos l990) < (1 + cos l991)

6. ЭОР: практикум по теме "Применение производной к исследованию функций".

Применение производной к исследованию функций.

III. Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

1. Работа в парах с тестами

Предлагается 3 вида тестов, дифференцированных на три уровня глубины изучения темы:

А – минимальный уровень.
Б – базовый уровень.
В – углубленный уровень.

Рисунок 1

Рисунок 2

 

Рисунок 3

Взаимопроверка с помощью ответов, выведенных с помощью документ-камеры.

Ответы:

График функции и график производной.

2. Практическая работа.

1. На данном этапе урока при проведении мини – исследовательской работы применяются методы контроля и самоконтроля, а также самоуправления учебными действиями. Обучение на немногочисленных, но хорошо подобранных задачах решаемых школьниками в основном самостоятельно, способствует вовлечению их в творческую исследовательскую работу, последовательно проводя через этапы научного поиска.

Индивидуальные задания для мини – исследовательской работы:

1, 2 вариант – минимальный уровень.

3, 4 вариант – базовый уровень.

5, 6 вариант – углубленный уровень.

Задание: исследовать и построить график функции.

3. Электронные тесты по теме “Применение производной к исследованию функций”.

(Приложение 1)

4. Творческое задание. (Слайд 21)

 Отыщите функцию в таблице, исходя из ее “автобиографии”. Найдите область определения, корень, точку разрыва, промежуток возрастания и убывания.

Я – функция сложная, это известно,
Еще расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всем остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.

IV. Инструктаж домашнего задания. (Слайд 22)

Уровень А.

1. Исследовать и построить график функции

а) у = (х + 1)3(х – 2)

б) у = (х + 2)2(х – 2)

2. Нестандартное задание:
составить формулу, задающую функцию, графиком которой была бы прямая с выколотой точкой.

Уровень Б.

1. Исследовать и построить график функции.

2. Нестандартное задание:

составить формулу, задающую функцию, графиком которой была бы одна точка.

Уровень В.

1. Исследовать и построить график функции.

2. Нестандартное задание:

отыскать функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы изучали на уроках физики, и исследуйте их.

V. Подведение итогов урока. (Слайд 23)

Заслушиваются оценки учеников.

Рефлексия.

Как вы считаете, кто из вас работал в полную силу своих возможностей, чувствовал себя уверенно?

А кто из вас работал хорошо, но не полную силу, испытывал чувство неуверенности, боязни, что отвечу неправильно?

А у кого из вас не было желания работать, то есть сегодня не ваш день?

Я хочу вам пожелать, чтобы у вас была только положительная производная, чтобы знания ваши
только возрастали. Спасибо за урок.

Анализ;
выбор оснований и критериев для сравнения;
умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме

Типологизация объектов;
умение осознанно строить речевое высказывание в устной форме;
анализ с целью выделения существенных признаков
Поиск и выделение необходимой информации;
анализ с целью выделения существенных признаков;
выбор оснований и критериев для сравнения;
умение обосновывать собственное мнение

 

Оценка (осознание качества и уровня усвоения); структурирование знаний.

Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

Коррекция.

Знаково-символическая деятельность;

построение логической цепи рассуждений.

Контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
структурирование знаний;
выбор эффективных способов решения задачи в зависимости от конкретных условий.

Построение логической цепи рассуждений.

Самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера, поиск и выделение необходимой информации.

Оценка (осознание качества и уровня усвоения);

структурирование знаний;

выбор эффективных способов решения задачи в зависимости от конкретных условий.

Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно учащимся, и того, что предстоит узнать;

поиск и выделение необходимой информации;

самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера,

поиск и выделение необходимой информации.

Анализ деятельности; выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осмысление полученных знаний.